ما هو قانون المميز لحل المعادلة التربيعية؟

يمكن استخدام المميز (بالإنجليزية: Discriminant) ورمزه (Δ)؛ لمعرفة عدد حلول المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equation) على الصيغة القياسية؛ ax2 + bx + c = 0، ومعرفة ما إذا كانت حلولها عبارة عن أعداد حقيقية أم أعداد مركبة، باستخدام قانون المميز لحل المعادلة التربيعة؛ والذي يعبر عنه بالصيغة الرياضية الآتية:[١][٢]


Δ = b2 - 4ac


ومن الجدير بالذكر هنا أن المميز يشكل جزءاً من القانون العام لحل المعادلة التربيعية، وهو يمثل القيمة الموجودة أسفل الجذر فيه، والقانون العام هو الصيغة الرياضية المستخدمة لإيجاد حلول المعادلة التربيعية عند تعويض قيم كل من (a، b، c) فيها، وهو كالآتي:[١][٢]


x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a


حيث إن:

  • x: حل المعادلة التربيعية أي القيم التي تحقق المعادلة.
  • a: معامل المتغير x2.
  • b: معامل المتغير x.
  • c: الحد المطلق أو الحد الثابت في المعادلة التربيعية.


ما هي العلاقة بين مميز المعادلة التربيعية وعدد حلولها؟

يمكن تحديد عدد حلول المعادلة التربيعية كما ذُكر سابقاً باستخدام المميز، وذلك من خلال حساب قيمته أولاً باستخدام قانون المميز السابق، ثم النظر إلى هذه القيمة، وتحديد عدد حلول المعادلة التربيعية، وذلك كالآتي:[١][٢][٣]

  • إذا كان المميز موجبًا: يكون للمعادلة التربيعية حلان حقيقيان، مختلفان عن بعضهما البعض، أما عن المنحنى البياني للمعادلة التربيعية، فهو يقطع محور السينات في نقطيتين.
  • إذا كان المميز مساويًا للصفر: يكون للمعادلة حل حقيقي واحد؛ أي أن الحلان متطابقان، أما عن المنحنى البياني للمعادلة التربيعية، فهو يقطع محور السينات في نقطة واحدة فقط.
  • إذا كان المميز سالبًا: يكون للمعادلة التربيعية حلان، لكنهما عبارة عن أعداد مركبة؛ على الصيغة a + bi، أي أن هذه المعادلة التربيعية ليس لها حلول حقيقية، أما عن المنحنى البياني لها فهو لا يقطع محور السينات أبداً.


أمثلة على قانون المميز لحل المعادلة التربيعية


السؤال:

أوجد مميز المعادلة التربيعية الآتية:

5x2 + 6x + 1 = 0



الحل:

يمكن إيجاد المميز للمعادلة التربيعية كالآتي:

Δ = b2 - 4ac

Δ = 62 - 4×5×1

Δ = 36 - 20

Δ = 16

بما أن المميز موجب؛ إذا يوجد حلان حقيقيان للمعادلة التربيعية.





السؤال:

أوجد عدد حلول المعادلة التربيعية الآتية باستخدام قانون المميز:

5x2 + 2x + 1 = 0



الحل:

لإيجاد عدد حلول المعادلة التربيعية السابقة يجب أولًا إيجاد المميز لها، وذلك كالآتي:

Δ = b2 - 4ac

Δ = 22 - 4×5×1

Δ = 22 - 20

Δ = 4 - 20

Δ = -16

بما أن المميز سالب؛ إذا يوجد حلان غير حقيقيين للمعادلة التربيعية، أي أن حلول المعادلة التربيعية عبارة عن أعداد مركبة وليس حقيقية.





السؤال:

أوجد مميز المعادلة التربيعية الآتية، وكم عدد حلولها؟

x2 + 2x + 1 = 0



الحل:

يمكن إيجاد المميز للمعادلة التربيعية كالآتي:

Δ = b2 - 4ac

Δ = 22 - 4×1×1

Δ = 4 - 4

Δ = 0

بما أن قيمة المميز هي صفر؛ إذًا يوجد للمعادلة حل حقيقي واحد فقط.





المراجع

  1. ^ أ ب ت "Quadratic Equations", mathsisfun, Retrieved 7/3/2023. Edited.
  2. ^ أ ب ت "Solving Quadratic Equations", toppr, Retrieved 7/3/2023. Edited.
  3. ↑ "Discriminant review", khanacademy, Retrieved 7/3/2023. Edited.