عدد حلول المعادلة التربيعية
يمكنك إيجاد عدد الحلول (الجذور) التي للمعادلة التربيعية التي تُعطى بالصيغة العامة: أس 2 + ب س + جـ = 0 (حيث أ، ب، جـ ثوابت، أ ≠ 0 ) من خلال ما يُسمّى بالمميز التربيعي، الذي يُعطى بالصيغة الآتية: ب2 - 4 أ جـ.[١]
ويمكنك معرفة عدد حلول المعادلة التربيعية باستخدام المميز ( ب2 - 4 أ جـ) من خلال ما يلي:[٢]
- إذا كان قيمة ب2 - 4 أ جـ ˂ 0 فإن للمعادلة التربيعية جذرين حقيقيين.
- إذا كان قيمة ب2 - 4 أ جـ = 0 فإن للمعادلة التربيعية جذر حقيقي واحد.
- إذا كان قيمة ب2 - 4 أ جـ ˃ 0 فإن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية.
ولحساب قيمة حلول أو جذور المعادلة التربيعية يمكنك استخدام القانون العام الخاص بالمعادلة التربيعية والذي يُعطى بالصيغة الآتية:[٣]
-
أمثلة على إيجاد عدد حلول المعادلة التربيعية
السؤال:
جد عدد حلول المعادلة التربيعية الآتية: س2 +4 س -5. [٤]
الحل:
- نجد المميز (ب2 - 4 أ جـ) لتحديد عدد الحلول الممكنة، كما يلي:
- أ = 1 ، ب = 4 ، جـ = -5.
- المميز = ب2 - 4 أ جـ = (4)2 - ( 4×1×-5) = 16 - ( -20) = 36.
- 36 ˂ 0، وعليه فإن للمعادلة التربيعية هذه: س2 +4 س -5 جذران أو حلّان حقيقيان.
- وباستخدام القانون العام يمكن حساب قيم هذه الحلول كما يلي:
-
- الجذران الحقيقيان هما: س = -5 ، س = 1.
السؤال:
جد عدد حلول المعادلة التربيعية الآتية: -3س2 - 24 س - 48.[٣]
الحل:
- نجد المميز ( ب2 - 4 أ جـ ) لنحدد عدد الحلول الممكنة كما يلي:
- أ = -3 ، ب = - 24 ، جـ = -48.
- المميز = ب2 - 4 أ جـ = (-24)2 - (4×-3×-48) = 576 - 576 = 0
- قيمة المميز هي 0، وعليه فإنّ للمعادلة التربيعية هذه جذر حقيقي واحد.
- وباستخدام القانون العام :
-
- ينتج أن قيمة هذا الجذر الحقيقي هي : س= -4.
السؤال:
جد عدد حلول المعادلة التربيعية الآتية: 3س2 + 4 س + 5.[٤]
الحل:
- نحسب قيمة المميز (ب2 - 4 أ جـ ) لنحدد عدد الحلول الممكنة كما يلي:
- أ = 3 ، ب = 4 ، جـ = 5، ومنه:
- المميز = ب2 - 4 أ جـ = 42 - (4×3×5) = 16 - 60 = -44.
- قيمة المميز - 44 ˃ 0، وعليه فإنّه ليس للمعادلة التربيعية هذه: 3س2 + 4 س + 5 جذور حقيقية.
السؤال:
جد عدد حلول المعادلة التربيعية الآتية: 2س2 - 11س +5.[٥]
الحل:
- نجد المميز( ب2 - 4 أ جـ ) لنحدد عدد الحلول الممكنة كما يلي:
- أ = 2 ، ب = -11 ، جـ = 5، ومنه:
- المميز = ب2 - 4 أ جـ = (-11)2 - ( 4×2×5) = 121 - 40 = 81.
- قيمة المميز 81 ˂ 0 فإن للمعادلة التربيعية جذرين حقيقيين.
- ويمكن عند تمثيل المعادلة السابقة بيانياً ملاحظة أن منحنى المعادلة التربيعية (2س 2 -11 س+5 ) يتقاطع مع محور السينات في نقطيتين (أي أن لها جذرين).
السؤال:
جد عدد حلول المعادلة التربيعية الآتية: -4س2 + 12س - 9.[٥]
الحل:
- نحسب قيمة المميز ( ب2 - 4 أ جـ ) لنحدد عدد الحلول الممكنة كما يلي:
- أ = -4 ، ب = 12 ، جـ = -9 ، ومنه:
- المميز = ب2 - 4 أ جـ = (12)2 - (4×-4×-9) = 144 - 144 = 0.
- قيمة المميز هي 0 مما يعني أن لهذه المعادلة التربيعية جذر حقيقي واحد.
- ويمكن عند تمثيل المعادلة السابقة بيانياً ملاحظة أن منحنى المعادلة التربيعية (-4س 2 +12 س-9 ) يتقاطع مع محور السينات في نقطة واحدة فقط (أي أنا له جذر واحد).
السؤال:
جد عدد حلول المعادلة التربيعية الآتية: س2 - 3 س + 4.[٥]
الحل:
- نجد المميز ( ب2 - 4 أ جـ ) لتحديد عدد الحلول الممكنة كما يلي:
- أ = 1 ، ب= -3 ، جـ = 4، ومنه:
- المميز = ب2 - 4 أ جـ = (-3)2 - (4×1×4) = 9 - 16 = -7 .
- قيمة المميز -7 ˃ 0 مما يعني أن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية
- ويمكن عند تمثيل المعادلة السابقة بيانياً ملاحظة أن منحنى المعادلة التربيعية س 2 -3 س+4 ملاحظة أن منحناها لا يتقاطع أبداً مع محور السينات (أي ليس لها جذور).
المراجع
- ↑ "Quadratic Formula Calculator", calculatorsoup, Retrieved 14/8/2021.
- ↑ "Program to find number of solutions in Quadratic Equation", geeksforgeeks, Retrieved 14/8/2021.
- ^ أ ب "The Quadratic Formula", sparknotes, Retrieved 14/8/2021.
- ^ أ ب "Quadratic Equations", math10, Retrieved 14/8/2021.
- ^ أ ب ت "Quadratic Functions", the biology project , Retrieved 14/8/2021.
