مسائل محلولة في التباديل والتوافيق

بما أن السؤال لم يشترط الترتيب، لأننا نريد 4 كرات من ضمن الـ 12 كرة الموجودة في الصندوق دون أهمية لترتيب الاختيار، فإن هذا يعد مثالًا على التوافيق، ولحساب عدد الطرق الممكنة نستخدم قانون التوافيق كالآتي:







يمكن كتابة الـ 12! بالشكل الآتي: 12! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8!

وعليه فإن:



الآن تحذف الـ 8! في البسط مع الـ 8! في المقام، فتصبح المسألة كالآتي:



ثم:



بإجراء عملية الضرب نحصل على:



بإجراء عملية القسمة نحصل على:



وهكذا نكون قد توصلنا إلى أن عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار 4 كرات من ضمن 12 كرة من الكرات الموجودة في الصندوق؛ دون الاهتمام بالترتيب، هو 495 مرة.

بما أن السؤال اشترط الترتيب أثناء الاختيار، فهذا يعني أنه مثال على التباديل، ولحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار 3 طلاب من ضمن 10 مع الاهتمام بالترتيب نستخدم قانون التباديل كالآتي:







يمكن كتابة الـ 10! بالشكل الآتي: 10! = 10 × 9 × 8 × 7!

وعليه فإن:



الآن نقوم بحذف الـ 7! في البسط مع الـ 7! في المقام، فتصبح المسألة كالآتي:





إذًا نستنتج أن عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار 3 طلاب من ضمن 10؛ لحفل تخرج المدرسة ليؤدي كل منهم دورًا محددًا في الحفل، أي مع الاهتمام بترتيب الطلبة أثناء الاختيار؛ هو 720 طريقة.

بما أن السؤال اشترط الترتيب أثناء الاختيار، فهذا يعني أنه مثال على التباديل، ولحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار شخصين من ضمن 7 أشخاص مع الاهتمام بالترتيب نستخدم قانون التباديل كالآتي:













إذًا نستنتج أن عدد الطرق التي يمكن من خلالها مدير مدرسة ومساعد له من ضمن 7 أشخاص مرشحين للمنصبين هو 42 طريقة.

بما أن السؤال هو عبارة عن اختيار أوراق من صندوق قرعة فهذا يعني أن الاختيار عشوائي، وأننا غير مهتمون بالترتيب، وعليه فإنه يعد مثالًا على التوافيق، ولحساب عدد الطرق الممكنة نستخدم قانون التوافيق كالآتي:





يمكن كتابة الـ 8! بالشكل الآتي: 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4!

وعليه فإن:



الآن نقوم بحذف الـ 4! في البسط مع واحدة من الـ 4! في المقام، فتصبح المسألة كالآتي:



ثم:



بإجراء عملية الضرب نحصل على:



بإجراء عملية القسمة نحصل على:



إذًا نستنتج أن عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار 4 أوراق من ضمن 8 أوراق موجودة في صندوق للقرعة هو 70 طريقة ممكنة.