ما هو القاسم المشترك الأصغر؟

من الصعب إضافة أو طرح الكسور عندما لا تكون المقامات متماثلة، ولذلك، لا بد من إيجاد قاسم مشترك بين مقامات هذه الكسور ليتم توحيد مقامات الكسرين ثم إجراء عملية جمع أو طرح الكسور المطلوبة، ويمكن تعريف القاسم المشترك الأصغر (بالإنجليزية: Lowest Common Denominator) ببساطة بأنه المضاعف المشترك الأصغر للمقامين، أي أنه أصغر مضاعف مشترك بينها.[١]


كيفية إيجاد القاسم المشترك الأصغر

لإيجاد القاسم المشترك الأصغر لكسرين غير متماثلين في المقام يجب اتباع الخطوات البسيطة الآتية:[٢]

1- إيجاد مضاعفات مقام الكسر الأول.

2- إيجاد مضاعفات مقام الكسر الثاني.

3- تحديد أصغر مضاعف مشترك بين المقامين، وهو يمثل القاسم المشترك الأصغر لهما.


  • عند جمع أو طرح الكسور يتم ضرب بسط ومقام كل كسر بمعامل معين بهدف الحصول على القاسم المشترك الأصغر الذي تم التوصل إليه في المقام.
  • عند إيجاد مضاعفات مقامي الكسرين، وعدم وجود مضاعف مشترك بينهما، يكون القاسم المشترك الأصغر هو حاصل ضرب مقامي الكسرين نفسهما ببعضها البعض.





أمثلة على إيجاد القاسم المشترك الأصغر

فيما يأتي بعض الأمثلة على إيجاد القاسم المشترك الأصغر واستخدامه في حل المسائل الكسرية:


السؤال:

أوجد القاسم المشترك الأصغر للكسرين (1/6) و (3/8):[١]

الحل:
  1. مضاعفات مقام الكسر الأول 6: 6، 12، 18، 24، 30،...
  2. مضاعفات مقام الكسر الثاني 8: 8، 16، 24، 32، 40، 48،...
  3. أصغر مضاعف مشترك هو 24 وهو القاسم المشترك الأصغر.





السؤال:

أوجد ناتج المسألة (1/6) + (7/15):[٢]

الحل:
  1. مضاعفات مقام الكسر الأول 6: 6، 12، 18، 24، 30،...
  2. مضاعفات مقام الكسر الثاني 15: 15، 30، 45، 60،...
  3. أصغر مضاعف مشترك هو 30 وهو القاسم المشترك الأصغر.
  4. للحصول على العدد 30 في مقام الكسر الأول يجب ضرب العدد 6 في 5؛ وبالتالي يجب ضرب بسط ومقام الكسر الأول في (5/5) والتي تساوي 1 (حتى لا يحصل أي تغيير على الكسر الأصلي).
  5. أما فيما يتعلق بمقام الكسر الثاني، فللحصول على العدد 30 في المقام يجب ضرب العدد 15 في 2؛ وبالتالي يجب ضرب بسط ومقام الكسر الثاني في (2/2).
  6. (6/1)×(5/5) + (15/7)×(2/2)=
  7. (30/5) + (30/14) =
  8. 30/19





السؤال:

أوجد ناتج المسألة (2/1 أ) - (3/1 ب):[١]

الحل:
  1. المقامين (2 أ) و(3 ب) لا يوجد بينهما مضاعفات مشتركة، وبالتالي القاسم المشترك الأصغر هو حاصل ضربهما 2 أ × 3 ب = 6 أب
  2. (2/1 أ) × (ب3/ب3) - (3/1 ب) × (أ 2/أ 2) =)
  3. (3 ب / 6 أب) - (2 أ / 6 أب) =
  4. (3 ب - 2 أ) / 6 أب





السؤال:

أوجد ناتج المسألة ((س+2) /6) - (س-1) /15):[٣]

الحل:
  1. مضاعفات مقام الكسر الأول 6: 6، 12، 18، 24، 30،...
  2. مضاعفات مقام الكسر الثاني 15: 15، 30، 45، 60،...
  3. أصغر مضاعف مشترك هو 30 وهو القاسم المشترك الأصغر.
  4. للحصول على العدد 30 في مقام الكسر الأول يجب ضرب العدد 6 في 5؛ وبالتالي يجب ضرب بسط ومقام الكسر الأول في (5/5).
  5. أما فيما يتعلق بمقام الكسر الثاني للحصول على العدد 30 في المقام يجب ضرب العدد 15 في 2؛ بالتالي يجب ضرب بسط ومقام الكسر الثاني في (2/2).
  6. ((س+2) /6) × (5/5) - (س-1) /15) × (2/2) =
  7. ((5 س+10) /30) - (2 س-2) /30) =
  8. ((5 س+10) - (2 س-2) / 30 =
  9. (5 س + 10 -2 س +2) / 30 =
  10. (3 س +12) / 30





السؤال:

أوجد ناتج المسألة (6/س) + (س/ (س-2):[٣]

الحل:
  1. المقامين (س) و(س - 2) لا يوجد بينهما مضاعفات مشتركة، بالتالي القاسم المشترك الأصغر هو حاصل ضربهما س × (س - 2).
  2. للحصول على س × (س - 2) في مقام الكسر الأول يجب ضرب البسط والمقام في (س - 2).
  3. للحصول على س × (س - 2) في مقام الكسر الثاني يجب ضرب البسط والمقام في (س).
  4. (6/ س) × (س - 2) / (س - 2) + (س/ (س-2) × (س/س) =
  5. (6 س - 12) / (س × (س - 2) + (س2 / (س × (س - 2) =
  6. ((6 س - 12) + س2) / (س × (س - 2) =
  7. 2 + 6 س - 12) / (س × (س - 2 ))
  8. 2 + 6 س - 12) / (س2 -2س)





المراجع

  1. ^ أ ب ت "Least Common Denominators (LCDs)", varsitytutors, 16-7-2021, Retrieved 16-7-2021. Edited.
  2. ^ أ ب "Least Common Denominator", mathsisfun, 16-7-2021, Retrieved 16-7-2021. Edited.
  3. ^ أ ب "Lowest Common Denominator", yoshiwarabooks, 16-7-2021, Retrieved 16-7-2021. Edited.