أسئلة على النهايات

أسئلة على النهايات

تحل النهايات بالتعويض المباشر، ولكن إذا كان ناتج الاقتران هو 0/0 أو مالانهاية فعلينا استخدام طرق أخرى للحل، وفي الآتي بعض طرق الحل هذه:

التعويض المباشر



السؤال:

جد قيمة نهاس←2 (س³ - 5 س + 7) ؟

إظهار الحل

الحل:

• نعوض قيمة 2 مكان مباشرة فإذا الناتج لا يكون صفر على صفر أو مالانهاية فإن القيمة الناتجة هي قيمة النهاية، وهي:
• نهاس←2 (س³ - 5 س + 7) = 2³ - 5 × 2 + 7 = 8 - 10 + 7 = 5

إخفاء الحل



تحليل العوامل



السؤال:

جد ناتج نهاس ←2 (س² - 4)/(س - 2)؟

إظهار الحل

الحل:

• عند عملية التعويض المباشر نجد أن القيمة الناتجة صفر/ صفر وهنا علينا استخدام طريقة التحليل إلى العوامل:
• نهاس ←2 (س² - 4) / (س - 2)
• يمكن تحليل (س² - 4) = (س - 2) (س + 2) ، لتصبح:
• نهاس ←2 (س - 2)(س + 2) /(س - 2) ، وبحذف (س - 2) من البسط والمقام ينتج أنّ:
• نهاس ←2 (س + 2) = 2 + 2 = 4

إخفاء الحل



الضرب بالمرافق



السؤال:

جد نهاس←0 [(4+س)√ - 2] / س؟

إظهار الحل

الحل:

• عند تعويض س = 0 مباشرة في المعادلة ينتج أن الناتج هو: 0/0، ولهذا علينا استخدام طريقة الضرب بالمرافق التربيعي.
• نهاس←0 [(4+س)√ - 2] / س ، نضرب المرافق الخاص بالبسط في المقام والبسط وهو (4+س)√ + 2، لينتج أنّ:
• نهاس←0 [ (4+س)√ - 2 ] × [ (4+س)√ + 2 ] / (س×[(4+س)√ + 2 ])
• نهاس←0 [ (4+س) + 2×(4+س)√ - 2×(4+س)√ - 4 / (س×[(4+س)√ + 2])
• نهاس←0 + س - 4 / (س×[(4+س)√ + 2])
• نهاس←0 س / (س×[(4+س)√ + 2]) ، اختصار س في البسط والمقام
• نهاس←0 1 / [ (4+س)√ + 2 ] ، نعوض س بـ 0
• 1 / [(4+0)√ + 2] = 1 / (2+2) = 1/ 4.

إخفاء الحل



العامل المشترك



السؤال:

نهاس←∞ (2س⁴ - س² +8 س) / (-5س⁴ + 7)؟

إظهار الحل

الحل:

• بما أن قيمة س تؤول الى مالانهاية فإن قيمة نهاية الاقتران تكون ∞ / ∞ عند التعويض مكان س، وعليه سنستخدم هنا طريقة إخراج العامل المشترك للحل.
• نهاس←∞ (2س⁴ - س² +8 س) / (-5س⁴ + 7)، وبإخراج العامل المشترك س⁴ ينتج أنّ:
• نهاس←∞ س⁴ (2 -(س² / س⁴)+ (8س/س⁴)) / [س⁴(-5 + (7/س⁴))]
• نهاس←∞ (2 - (1/س²)+ (8/س³)) / (-5 + (7/س⁴))، نعوض  مكان س لينتج أنّ:
• نهاس←∞ (2-0+0)/(-5 +0) = -2/5

إخفاء الحل





السؤال:

جد ناتج نهاس←∞ (6هـ^4س - هـ^-2س) / ( 8هـ^4س - هـ^2س+ 3هـ^-س)؟

إظهار الحل

الحل:

• عند الحل بالتعويض نجد أنّ ناتج النهاية هو ∞/∞، لذا علينا هنا استخدام طريقة إخراج العامل المشرك من المقام والبسط، ملاحظة: نها س←∞ (أ ^{- س})= 0.
• نهاس←∞ (6هـ^4س - هـ^-2س) / ( 8هـ^4س - هـ^2س+ 3هـ^-س)، نخرج هـ^4س كعامل مشترك.
• نهاس←∞ هـ^4س (6 - هـ^-6س ) / هـ^4س ( 8 - هـ^-2س+ 3هـ^-5س)، نتخلص من هـ^4س باختصارها من البسط والمقام معاً
• نهاس←∞ (6 - هـ^-6س) / (8 - هـ^-2س+ 3هـ^-5س) = (6 - 0) / (8-0+ 0) = 6/8 = 3/4.

إخفاء الحل



الاقترنات المثلثية



السؤال:

جد ناتج نهاس←0 جا(س)/ جا(س/2)؟

إظهار الحل

الحل:

• التعويض بشكل مباشر في المسألة لتكون النتيجة هي: 0/0، وعليه يمكن حل المسألة بطريقة أخرى تتمثل بضرب المعادلة بـ (س/ س)، ملاحظة: نهاس←0 (جا أس/س) = أ.
• نهاس←0 جا س/ جا (س/2)، نضرب بـ (س/ س).
• نهاس←0 (جا س/ جا (س/2))×(س/ س)
• نهاس←0 (جا س/ س) × ( س/ جا(س/2))، نوزّع النهاية على القوسين:
• نهاس←0 (جا س/ س) × نهاس←0 ( س/ جا (س/2))
• كما نعلم بأنّ نهاس←0 (جا أس/س) = أ، أ = 1 في النهاية الأولى، أ = 1/2 في النهاية الثانية.
• نهاس←0 (جاس/ س) × [ نهاس←0 (جا (س/2)/س) ]^-1 = 1×(1/ 2)^-1 = 2.

إخفاء الحل