مفهوم المماس في الرياضيات

مفهوم المماس في الرياضيات

يستخدم مصطلح المماس (بالإنجليزية: Tangent) في الرياضيات في العديد من المجالات، ففي الهندسة الإقليدية، يعرف مماس المنحنى بأنه الخط المستقيم الذي يمس المنحنى مرة واحدة عند نقطة واحدة، ولا يقطع هذا المنحنى منطلقًا، بل يلامسه فقط، أما في الهندسة التحليلية، فيوجد مماسات تُرسم على الدائرة أو القطع الناقص أو القطع المكافئ أو أي منحنى عشوائي لآخر بواسطة المعادلات، وهي تستخدم لحل المشكلات الهندسية المختلفة، أما في حساب التفاضل، فإن مماس الرسم البياني للدالة عند نقطة ما يساعد في إيجاد معدل تغير الدالة عند تلك النقطة.^[١][٢]

مفهوم المماس رياضيًا

رياضيًا نقول إن الخط المستقيم يعتبر مماسا لمنحنى y = f(x) عند نقطة x = c إذا كان الخط يمر بالنقطة (c, f(c)) على المنحنى فقط، ولا توجد نقطة أخرى غيرها، وله ميل f'(c)، حيث f'(c) هي مشتقة f(x) عند x=c.^[١]

مفهوم نقطة التماس

النقطة التي يلامس فيها المماس المنحنى، فهي تعرف باسم نقطة التماس (بالإنجليزية: point of tangency)، وتجدر الإشارة إلى أن المماس هو خط مستقيم؛ وبالتالي فإن له معادلة وميلاً مثل أي خط مستقيم آخر.^[١]

كيفية إيجاد معادلة خط المماس

من أجل العثور على معادلة أي خط مستقيم، هناك حاجة إلى معرفة نقطة وميل، ولكن بما أن خط المماس يقطع المنحنى مهما كان نوعه عند نقطة التماس، ولا يقطعه عند أي نقطة ثانية، فإن العثور على الميل ليس عملية مباشرة، وبدلًا من ذلك، يجب تذكر أن الخط القاطع (بالإنجليزية: Secant Line) هو الخط الذي يتقاطع مع المنحنى أكثر من مرة، ومن خلال هاتين النقطتين يمكن إيجاد الميل باستخدام العلاقة: (f(x) - f(a))/ (x - a) وباستخدام نقطة واحدة وميل؛ يمكن كتابة المعادلة باستخدام صيغة نقطة الميل:^[٣]

y - y1 = m (x - x1)

الآن بعد أن تم إنشاء معادلة خط القاطع، يمكن استخدامها لإيجاد معادلة خط المماس، مع ملاحظة أن الخط القاطع سيبدو مشابهًا أكثر وأقرب لخط المماس عندما تقترب النقطتان من بعضهما البعض، من خلال أخذ النهاية عندما x تقترب من a، حيث إن:^[٣]

معادلة خط المماس للمنحنى f(x) عند النقطة (a، f(a)) تعطى بالمعادلة الآتية:

y = f(a) + m(x - a)

عندما:

(f(x) - f(a))/ (x - a) m = lim x→a

مثال:

أوجد معادلة المماس للمنحنى f(x)=x^2 عند النقطة (2, 4)

الحل:

(f(x) - f(a))/ (x - a) m = lim x→a

(4 - x^2)/ (x - 2) m = lim x→2

((x+2)(x-2))/ (x - 2) m = lim x→2

(x+2) m = lim x→2

m = 4

وهكذا نحصل على معادلة المماس الآتية:

y = 4 + 4(x - 2)

مماس الدائرة في الرياضيات وخصائصه

يُعرف مماس الدائرة في الرياضيات بأنه الخط المستقيم الذي يلامس محيط الدائرة عند نقطة واحدة فقط، حيث تعرف هذه النقطة التي يلامس فيها المماس الدائرة باسم نقطة التماس، وتجدر الإشارة إلى أن مماس الدائرة يكون عمودياً دائماً على نصف قطر الدائرة التي يتقاطع معها عند نقطة التماس، وبما أن مماس الدائرة عبارة عن خط مستقيم، فإن له معادلة وميل، كباقي الخطوط المستقيمة وباقي المماسات الأخرى، وتجدر الإشارة إلى أن مماس الدائرة يمتلك مجموعة من الخصائص وهي كالآتي:^[١][٤]

• لا يتقاطع مماس الدائرة مطلقًا مع الدائرة عند نقطتين أبداً.
• لا يتقاطع مماس الدائرة مع الدائرة مطلقًا، وإنما يلامسها عند نقطة واحدة فقط.
• عند رسم مماسين اثنين لدائرة معينة من نقطة تقع خارج محيط الدائرة، فإن هذين المماسين لهذه الدائرة يكونان متساويين من حيث الطول دائمًا.

ملخص

خط المماس هو الخط الذي يلامس المنحنى عند نقطة معينة، لكنه لا يمر عبره، ونتيجة لذلك، فإنه يتقاطع مع المنحنى عند نقطة واحدة فقط تعرف باسم نقطة التماس، ويبدو مطابقًا تقريبًا للمنحنى عند النقاط القريبة منها، وللعثور على معادلة خط المماس، يجب أولًا البحث عن معادلة الخط القاطع ثم السماح للنقطتين المستخدمتين من الخط القاطع بأن تصبحا قريبتين جدًا من بعضهما عن طريق أخذ النهاية. وهذا يعطي النتيجة أن ميل خط المماس هو (f(x) - f(a))/ (x - a) m = lim x→a، وهذا يجعل معادلة خط المماس هي y = f(a) + m(x - a)، وبالتالي يمكن استخدام هذه المعادلة لإيجاد خط المماس لأي منحنى طالما أن المنحنى مستمر، وليس له زوايا حادة عند نقطة التماس.