أسئلة على الاقتران التربيعي

فيما يأتي بعض الأسئلة على الاقتران التربيعي:


السؤال:

حدد قيمة كل من: أ، ب، ج من صيغة الاقتران التربيعي: ق (س) = س2 - 4س - 12؟[١]

الحل:
  • الصورة القياسية للاقتران التربيعي هي:
  • ق (س) = س2 - 4س - 12، وعليه:
  • أ = معامل س2 = 1.
  • ب = معامل س = -4.
  • ج = الحد الثابت = -12.





السؤال:

جد قيم ص للاقتران التربيعي: ق (س) = س2 + س - 3 = 0 بواسطة الرسم البياني الخاص به؛ حيث - 3 ≤ س ≤ 2 .[٢]

الحل:
  • تحديد قيم (ص) المقابلة لقيم س لهذا الاقتران، كما في الجدول الآتي:


س
-3
-2
-1
0
1
2
ص
3
-1
-3
-3
-1
3


  • ومن الجدول السابق يكون الرسم البياني للاقتران كالآتي:

أسئلة على الاقتران التربيعي


  • يمكن الحصول على أصفار الاقتران: س2 + س - 3 بالنظر إلى النقاط التي يقطع فيها الرسم البياني مع محور السينات؛ أي عندما ص = 0.
  • الرسم البياني ص = س2 + س - 3 يقطع المحور (س) عند 1.3 و –2.3 .
  • إذن أصفار الاقتران: ق (س) = س2 + س - 3 هي: س = 1.3 أو س = –2.3 .



السؤال:

جد تقاطعات الاقتران التربيعي: ق(س) = 2س2 + 4س - 4 مع المحور السيني؟[٣]

الحل:
  • يتقاطع الاقتران مع محور السينات عندما تكون قيم ص = 0، وعليه ولإيجاد قيم (س) عند نفاط التقاطع يجب اعتبار أنّ: ق(س) = 0، ثم حساب قيم س:0
  • 0 = 2س2 + 4س - 4
  • نظرًا لأن المعادلة التربيعية ليست قابلة للتحليل بسهولة في هذه الحالة، فإن علينا حل المشكلة عن طريق إعادة كتابة الاقتران في الشكل القياسي أولاً.
  • ق (س) = أ (س - ح)2 + ك
  • حيث ح = - ب ÷ ( 2 أ) = - 4 ÷ (2 × 2) = -1
  • ك = ق(ح) = ق (- 1) = 2 (-1)2 + 4(-1) - 4 = -6، ومنه يصبح شكل الاقتران ق(س) كما يأتي:
  • ق(س) = 2 × (س - (-1) )2 + (-6)
  • ق(س) = 2 × (س + 1)2 - 6 ، وللعثور على نقاط التقاطع يجب مساواة الاقتران بصورته الجديدة بالصفر؛ أي:
  • 2×(س + 1)2 - 6 = 0
  • 2×(س + 1)2 = 6 ، نقسم الطرفين على 2
  • (س + 1)2 = 3 ، نتخلص من الأس التربيعي عن طريق الجذر للطرفين.
  • س + 1 = ±(3)√
  • س= -1±(3)√
  • إذن إحداثيات نقاط التقاطع مع المحور السيني هي (-1+(3)√،0) و (-1-(3)√،0)







السؤال:

جد صيغة الاقتران التربيعي: ق (س) = س2 + (ب)س + ج؛ إذا علمت أن أصفاره هي: 5 و8 على التوالي؟[١]

الحل:
  • كتابة الصورة القياسية للاقتران التربيعي، وهي:
  • ق (س) = س2 + (ب)س + ج.
  • وإذا كانت 5 ، 8 هي أصفاره، فهذا يعني أنّ: ق (5) = 0، ق (8) = 0، وعليه:
  • ق (5) = (5×5) + ب×(5) + ج = 0
  • ق (8) = (8×8) + ب×(8) + ج = 0
  • بحل المعادلتين ينتج أنّ:
  • ب = -13، ج = 40، وعليه:
  • ق (س) = س2 - 13س + 40.





السؤال:

إذا كان العدد 7 صفراً للاقتران التربيعي: ق (س) = أس2 - 4س -21، جد قيمة أ؟[١]

الحل:
  • العدد 7 هو صفر للاقتران، وهذا يعني أنّ: ق (7) = 0، وعليه:
  • ق (7) = أ(7×7) - 4×(7) - 21 = 0
  • بحل المعادلة ينتج أنّ:
  • 49 × أ - 28 - 21 = 0، ومنه:
  • 49 × أ = 49، ومنه:
  • أ = 1.




السؤال:

جد إحداثيات رأس لاقتران التربيعي: ق (س) = س2 - 4س؟[١]

الحل:
  • إحداثيات رأس الاقتران هي:
  • س = -ب / (2×أ).
  • ص = ق ( -ب / (2×أ))، وعليه:
  • أ = 1 ، ب = -4، ومنه:
  • س = -(-4) / (2×1) = 4/2 = 2.
  • ص = ق (2) = 2×2 - 4×2 = -4.
  • وعليه: إحداثيات رأس هذا الاقتران التربيعي هي: (2 ، -4).





السؤال:

جد تقاطعات الاقتران التربيعي: ق(س) = س2 - 16 مع المحور السيني؟[٣]

الحل:
  • يتقاطع الاقتران مع محور السينات عندما تكون قيم ص = 0، وعليه ولإيجاد قيم (س) عند نفاط التقاطع يجب اعتبار أنّ: ق(س) = 0، ثم حساب قيم س:
  • 0 = س2 - 16
  • يمكن حل المعادلة التربيعية السابقة بكل سهولة لأنها عبارة عن فرق بين مربعين، وذلك كما يأتي:
  • (س - 4) (س + 4) = 0.
  • ومنه: س = 4 ، أو س = -4.
  • إذن إحداثيات نقاط التقاطع مع المحور السيني هي (0،4) و (-0،4)




المراجع

  1. ^ أ ب ت ث "Quadratic Equation", cuemath, Retrieved 4/10/2021.
  2. ↑ "Graphical Solutions of Quadratic Equations", online math learning, Retrieved 4/10/2021.
  3. ^ أ ب "Solve problems involving a quadratic function’s minimum or maximum value", lumen, Retrieved 4/10/2021.