أسئلة على النهايات


تحل النهايات بالتعويض المباشر، ولكن إذا كان ناتج الاقتران هو 0/0 أو مالانهاية فعلينا استخدام طرق أخرى للحل، وفي الآتي بعض طرق الحل هذه:


التعويض المباشر

السؤال:

جد قيمة نهاس←2 3 - 5 س + 7) ؟

الحل:
  • نعوض قيمة 2 مكان مباشرة فإذا الناتج لا يكون صفر على صفر أو مالانهاية فإن القيمة الناتجة هي قيمة النهاية، وهي:
  • نهاس←2 3 - 5 س + 7) = 23 - 5 × 2 + 7 = 8 - 10 + 7 = 5

تحليل العوامل

السؤال:

جد ناتج نهاس ←2 2 - 4)/(س - 2)؟

الحل:
  • عند عملية التعويض المباشر نجد أن القيمة الناتجة صفر/ صفر وهنا علينا استخدام طريقة التحليل إلى العوامل:
  • نهاس ←2 2 - 4) / (س - 2)
  • يمكن تحليل (س2 - 4) = (س - 2) (س + 2) ، لتصبح:
  • نهاس ←2 (س - 2)(س + 2) /(س - 2) ، وبحذف (س - 2) من البسط والمقام ينتج أنّ:
  • نهاس ←2 (س + 2) = 2 + 2 = 4

الضرب بالمرافق

السؤال:

جد نهاس←0 [(4+س)√ - 2] / س؟

الحل:
  • عند تعويض س = 0 مباشرة في المعادلة ينتج أن الناتج هو: 0/0، ولهذا علينا استخدام طريقة الضرب بالمرافق التربيعي.
  • نهاس←0 [(4+س)√ - 2] / س ، نضرب المرافق الخاص بالبسط في المقام والبسط وهو (4+س)√ + 2، لينتج أنّ:
  • نهاس←0 [ (4+س)√ - 2 ] × [ (4+س)√ + 2 ] / (س×[(4+س)√ + 2 ])
  • نهاس←0 [ (4+س) + 2×(4+س)√ - 2×(4+س)√ - 4 / (س×[(4+س)√ + 2])
  • نهاس←0 + س - 4 / (س×[(4+س)√ + 2])
  • نهاس←0 س / (س×[(4+س)√ + 2]) ، اختصار س في البسط والمقام
  • نهاس←0 1 / [ (4+س)√ + 2 ] ، نعوض س بـ 0
  • 1 / [(4+0)√ + 2] = 1 / (2+2) = 1/ 4.

العامل المشترك

السؤال:

نهاس← (2س4 - س2 +8 س) / (-5س4 + 7)؟

الحل:
  • بما أن قيمة س تؤول الى مالانهاية فإن قيمة نهاية الاقتران تكون ∞ / ∞ عند التعويض مكان س، وعليه سنستخدم هنا طريقة إخراج العامل المشترك للحل.
  • نهاس← (2س4 - س2 +8 س) / (-5س4 + 7)، وبإخراج العامل المشترك س4 ينتج أنّ:
  • نهاس← س4 (2 -(س2 / س4)+ (8س/س4)) / [س4(-5 + (7/س4))]
  • نهاس←(2 - (1/س2)+ (8/س3)) / (-5 + (7/س4))، نعوض  مكان س لينتج أنّ:
  • نهاس←(2-0+0)/(-5 +0) = -2/5



السؤال:

جد ناتج نهاس← (6هـ - هـ-2س) / ( 8هـ - هـ+ 3هـ

الحل:
  • عند الحل بالتعويض نجد أنّ ناتج النهاية هو ∞/∞، لذا علينا هنا استخدام طريقة إخراج العامل المشرك من المقام والبسط، ملاحظة: نها س←- س)= 0.
  • نهاس← (6هـ - هـ-2س) / ( 8هـ - هـ+ 3هـ)، نخرج هـ كعامل مشترك.
  • نهاس← هـ (6 - هـ-6س ) / هـ( 8 - هـ-2س+ 3هـ-5س)، نتخلص من هـ باختصارها من البسط والمقام معاً
  • نهاس← (6 - هـ-6س) / (8 - هـ-2س+ 3هـ-5س) = (6 - 0) / (8-0+ 0) = 6/8 = 3/4.

الاقترنات المثلثية

السؤال:

جد ناتج نهاس←0 جا(س)/ جا(س/2)؟

الحل:
  • التعويض بشكل مباشر في المسألة لتكون النتيجة هي: 0/0، وعليه يمكن حل المسألة بطريقة أخرى تتمثل بضرب المعادلة بـ (س/ س)، ملاحظة: نهاس←0 (جا أس/س) = أ.
  • نهاس←0 جا س/ جا (س/2)، نضرب بـ (س/ س).
  • نهاس←0 (جا س/ جا (س/2))×(س/ س)
  • نهاس←0 (جا س/ س) × ( س/ جا(س/2))، نوزّع النهاية على القوسين:
  • نهاس←0 (جا س/ س) × نهاس←0 ( س/ جا (س/2))
  • كما نعلم بأنّ نهاس←0 (جا أس/س) = أ، أ = 1 في النهاية الأولى، أ = 1/2 في النهاية الثانية.
  • نهاس←0 (جاس/ س) × [ نهاس←0 (جا (س/2)/س) ]-1 = 1×(1/ 2)-1 = 2.