قاعدة الاحتمالات في الرياضيات

الاحتمالات هي مقياس لمدى احتمال حدوث أي حدث عشوائي أو ببساطة إمكانية حدوثه، ويتم استخدام الاحتمالات للتنبؤ مثلاً بنتائج رمي العملات المعدنية أو رمي النرد، أو سحب بطاقة من حزمة من أوراق اللعب، ويتم التعبير بقيمة تتراوح بين صفر إلى واحد، حيث يعني الصفر أن الحدث مستحيل الحدوث،[١][٢]. كما أنّ هناك مجموعة من المفاهيم المرتبطة بعلم الاحتمالات ومنها:[٣]

  • التجربة (بالإنجليزية: Experiment): مجموعة محاولات يتم إجراؤها بنفس الطريقة، وتؤدي إلى نتائج مختلفة ممكنة في كل محاولة.
  • النتيجة (بالإنجليزية: Outcome): نتيجة الحدث بعد إجراء التجربة.
  • الفضاء العيني (بالإنجليزية: Sample Space): جميع النتائج الممكنة للتجربة.
  • الحدث (بالإنجليزية: Event): يتمثل بإحدى نتائج التجربة أو بأكثر من نتيجة منها.


الصيغة الرياضية للاحتمالات

يمكن التعبير عن احتمال حدوث شيء ما أو الحصول على نتيجة معينة رياضياً من خلال الصيغة الآتية:[٢]

  • احتمالية وقوع الحادث = عدد عناصر الحادث/ العدد الإجمالي للنتائج الممكنة.


نظريات الاحتمالات

هناك مجموعة من النظريات التي تتعلق بالاحتمالات، ومنها:[٤][٥]

  • احتمالية وقوع حدث مستحيل هي في (Φ) أو مجموعة فارغة
  • تتراوح احتمالية وقوع حدث ما بين الصفر (حدث مستحيل) والواحد (حدث مؤكد) دائماً.
  • أقصى احتمالية لحدوث حدث ما هي العدد الإجمالي للنتائج المحتملة (عدد عناصر الفضاء العيني).
  • لا يمكن لاحتمالية حدوث حدث ما أن تكون قيمة سالبة.
  • إذا كان أ، ب حدثين متنافيين (بالإنجليزية: Mutually Exclusive Outcomes) أي حدثان لا يمكن لهما أن يحدثا في الوقت نفسه، فإن احتمالية حدوث أ أو ب تساوي احتمالية حدوث أ بالاضافة (+) احتمالية حدوث ب.
  • احتمالية حدوث حدث ما وعدم حدوثه تساوي 1.


أمثلة متنوعة حول الاحتمالات


السؤال:

إذا كانت هناك 5 كرات ملونة في كيس ما، 4 منها زرقاء اللون، وواحدة حمراء، ما هو احتمال سحب كرة زرقاء اللون؟[٣]


الحل:
  • عدد عناصر الحادث = 4.
  • العدد الاجمالي للنتائج = 5.
  • باستخدام القانون، احتمالية وقوع الحادث = عدد عناصر الحادث/ العدد الإجمالي للنتائج.
  • احتمالية سحب كرة زرقاء = 5/4 = 0.8.




السؤال:

جد احتمال الحصول على 3 عند رمي النرد.[٢]


الحل:
  • عدد عناصر الحادث: 1.
  • العدد الاجمالي للنتائج = 1،2،3،4،5،6 = 6.
  • باستخدام القانون، احتمالية وقوع الحادث = عدد عناصر الحادث/ العدد الإجمالي للنتائج.
  • احتمالية الحصول على الرقم 3 = 1/6.





السؤال:

ما هو احتمال الحصول على مجموع 10 عند رمي حجري نرد معاً وفي الوقت نفسه؟[٥]

الحل:
  • العدد الاجمالي للنتائج = هناك 36 احتمالًا عند رمي حجري نرد معاً:
  • للحصول على مجموع 10، هناك 3 نتائج محتملة فقط: (4،6)، (6،4)، (5،5).
  • باستخدام القانون:
  • احتمالية وقوع الحادث = عدد عناصر الحادث/ العدد الإجمالي للنتائج.
  • احتمالية الحصول على مجموع 10 = 36/3 = 12/1.




السؤال:

إذا كانت هناك 5 أوراق لعب تحمل أرقاماً: 2، 3، 4، 5، 6، جد احتمالية سحب ورقة عليها عدد أولي، ثم إعادتها ثم سحب ورقة عليها عدد مركب.[٥]

الحل:
  • عدد عناصر الحادث للحدث الأول = 2، 3، 5 = 3.
  • باستخدام القانون:
  • احتمالية وقوع الحادث = عدد عناصر الحادث/ العدد الإجمالي للنتائج.
  • احتمالية الحصول على عدد أولي = 5/3.
  • عدد عناصر الحادث للحدث الثاني = 4، 6 = 2.
  • باستخدام القانون:
  • احتمالية وقوع الحادث = عدد عناصر الحادث/ العدد الإجمالي للنتائج.
  • احتمالية الحصول على عدد مركب = 5/2.
  • احتمالية حدوث الحدثين المستقلين معاً = احتمالية حدوث الحدث الأول × احتمالية حدوث الحدث الثاني = 3/5 × 3/5 = 6/25.




المراجع

  1. ↑ Joe Kochitty, Rajshekhar Ratrey,Parabhadeep Dedi...etc (2020), "Introduction to Probability", toppr, Retrieved 20/9/2021. Edited.
  2. ^ أ ب ت byjus team (2019), "Probability", byjus, Retrieved 20/9/2021. Edited.
  3. ^ أ ب Les Bill Gates,Dianne Gentry,David Sevilla..etc (2017), "Probability", mathsisfun, Retrieved 20/9/2021. Edited.
  4. ↑ cuemath teachers (2020), "Probability and Statistics", cuemath, Retrieved 20/9/2021. Edited.
  5. ^ أ ب ت cuemath teachers (2020), "Probability", cuemath, Retrieved 20/9/2021. Edited.