تعريف الوسيط

يعرف الوسيط (بالإنجليزية: Median) في الرياضيات بأنه أحد مقاييس االنزعة المركزية ويعتبر أحد المقاييس المستخدمة لحساب المعدل في الإحصاء، وهو القيمة المركزية لمجموعة من البيانات أو العدد الذي يقع في منتصفها تماماً، أما في الأشكال الهندسية فيُعرف الوسيط بأنه النقطة المركزية للمضلع.[١]


وبشكل عام يمكن تعريف الوسيط بشكل أدق بأنه قيمة المشاهدة المتوسطة بين المشاهدات، والتي يمكن الحصول عليها بعد ترتيب المشاهدات (البيانات) ترتيباً تصاعدياً أو تنازلياً، وهو يعتبر مقياساً سهل الحساب.[٢]


كيفية حساب الوسيط للمشاهدات المفردة

يمكننا الحصول على الوسيط من خلال اتباع الخطوات الآتية:[٣]

  1. ترتيب قيم المشاهدات تصاعديًا أو تنازليًا.
  2. إذا كان عدد المشاهدات فرديًا، فإنّ الوسيط هو المشاهدة التي تقع في منتصف الترتيب.
  3. إذا كان عدد المشاهدات زوجيًا، فإن الوسيط هو الوسط الحسابي للمشاهدتين الواقعتين في منتصف الترتيب.


ويمكن التعبير عن ما سبق رياضياً إذا كان عدد المشاهدات (ن) كما يلي:[٢]


  • الوسيط إذا كان عدد المشاهدات (ن) فرديًا:
  • الوسيط = المشاهدة التي ترتيبها ((ن+1)/2)


  • الوسيط إذا كان عدد المشاهدات (ن) زوجياً:
  • الوسيط = ((قيمة المشاهدة التي ترتيبها (ن/2) + قيمة المشاهدة التي ترتيبها ((ن/2)+1)) / 2


  • مثال (1): جد الوسيط للبيانات الآتية: 1، 4 ، 2 ، 5 ، 0.[٣]
  • الحل:
  • ترتيب هذه البيانات تصاعديًا: 0 ، 1 ، 2 ، 4 ، 5.
  • عدد المشاهدات ن = 5 وهو عدد فردي، بالتالي الوسيط هو المشاهدة التي تقع في منتصف الترتيب وهي 2.
  • الوسيط = 2.


  • مثال (2): لاحظ خالد أن عدد الكعك الذي خبزه يومياً خلال الأسبوع الماضي كان كالآتي: 1 ، 2 ، 2 ، 3 ، 4 ، 3 ، 3، فما هو الوسيط لعدد الكعك الذي خبزه؟[٢]
  • الحل:
  • ترتيب أعداد الكعك الذي خبزه خالد يوميًا بالتسلسل تصاعدياً قبل تحديد قيمة الوسيط: 1 ، 2 ، 2 ، 3 ، 3 ، 3 ، 4.
  • نلاحظ أن عدد المشاهدات (ن) = 7 (عدد أيام الأسبوع) وهو عدد فردي.
  • للحصول على الوسيط علينا استخدم الصيغة الخاصة بالمشاهدات التي عددها فردي، وهي:
  • الوسيط = المشاهدة التي ترتيبها ((ن+1)/2).
  • الوسيط = المشاهدة التي ترتيبها ((7+1)/2) = المشاهدة التي ترتيبها (4).
  • الوسيط = المشاهدة الرابعة = 3.


  • مثال (3): في أحد المهرجانات تم بيع تذاكر اليانصيب، وكان أحمد هو المسؤول عن حساب المبيعات في كل ساعة، وكان عدد التذاكر المباعة كل ساعة كالآتي: 130 ، 123 ، 146 ، 109 ، 112 ، 111 ما هو الوسيط لعدد التذاكر المباعة؟[٢]
  • ترتيب أعداد التذاكر المباعة كل ساعة تصاعديًا: 109 ، 111 ، 112 ، 123 ، 130 ، 146.
  • نلاحظ أن عدد المشاهدات (ن) = 6 وهو عدد زوجي.
  • للحصول على الوسيط علينا استخدام الصيغة الخاصة بالمشاهدات التي عددها زوجي وهي:
  • الوسيط = ((قيمة المشاهدة التي ترتيبها (ن/2) + قيمة المشاهدة التي ترتيبها ((ن/2)+1)) / 2)
  • الوسيط = ((قيمة المشاهدة التي ترتيبها (6/2) + قيمة المشاهدة التي ترتيبها ((6/ 2)+1)) / 2)
  • الوسيط = ((قيمة المشاهدة التي ترتيبها (3) + قيمة المشاهدة التي ترتيبها (4)) / 2)
  • الوسيط = (112 + 123) / 2
  • الوسيط = 117.5


كيفية حساب الوسيط للبيانات في الجداول التكرارية

تتضمن الجداول التكرارية بيانات لمشاهدات مفردة مع عدد مرات تكرارها، أو قد تحتوي على بيانات لفئات منفصلة مع عدد مرات تكرارها، وفيما يلي سنوضح كيفية حساب الوسيط لكل حالة من هذه الحالات.


الوسيط لجدول تكراري يتضمن بيانات مشاهدات مفردة

يمكننا ايجاد الوسيط لجدول تكراري يتضمن بيانات مشاهدات مفردة من خلال عدة خطوات هي:[٤]

  • ايجاد المجموع التراكمي للتكرارات وهو (مجموع التكرارات للمشاهدات السابقة يضاف إليه عدد مرات تكرار المشاهدة الحالية).
  • تحديد رتبة الوسيط، والتي تختلف طريقة تحديدها بناء على عدد المشاهدات الكلي سواء كان فردياً أم زوجياً، بحيث تكون رتبة الوسيط للمشاهدات التي عددها فردي هي: ((ن+1)/2)، بينما يكون للمشاهدات التي عددها زوجي رتبتي وسيط تكون رتبة الوسيط الأولى هي (ن/2) و رتبة الوسيط الثانية هي ((ن/2)+1).
  • تحديد الوسيط عن طريق البحث عن موقع رتبة الوسيط التي حصلنا عليها بين المجموع التراكمي للمشاهدات، حيث يتمثل الوسيط بأول مشاهدة يزيد تكرارها التراكمي عن قيمة (ن/2) أو يساويها، وفي حالة المشاهدات التي عددها زوجي سوف نحصل على قيمتين يقع بينهما الوسيط (أول مشاهدة يزيد أو يساوي تكرارها التراكمي قيمة (ن/2)، والمشاهدة التي تسبقها) لذلك علينا حساب الوسط الحسابي للقيمتين لنحصل على الوسيط.


  • مثال: يتضمن الجدول الآتي علامات الطلاب في اختبار الرياضيات وتكرار العلامات التي تم الحصول عليها، جد الوسيط لهذه العلامات.[٤]


العلامة
1
2
3
4
التكرار
4
7
6
3


الحل:

  • لايجاد الوسيط لهذه العلامات علينا القيام بما يلي: [٤]


  • ايجاد المجموع التراكمي للتكرارات، ليصبح الجدول كالآتي:
العلامة
0
1
2
3
4
التكرار
3
4
7
6
3
التكرار التراكمي
0+ 3 = 3
3+ 4 = 7
7+ 7 = 14
14+ 6 = 20
20+ 3 = 23


  • العدد الكلي للمشاهدات (ن) = المجموع الكلي للتكرارات = 3+4+7+6+3= 23 (عدد فردي)
  • رتبة الوسيط للمشاهدات التي عددها فردي = ((ن+1)/2) = ((23+1)/2) = 12
  • رتبة الوسيط هي 12 وهي أكبر من التكرار التراكمي (7) وأقل من التكرار التراكمي 14، إذاً الوسيط هو المشاهدة التي تكرارها التراكمي 14، وهو العلامة (2).


  • مثال: يتضمن الجدول الآتي العلامات التي تم الحصول عليها في مسابقة رياضية وتكرار العلامات التي تم الحصول عليها، جد الوسيط لهذه العلامات.[٤]


العلامة
0
1
2
3
4
التكرار
11
9
5
10
15


  • الحل:
  • لايجاد الوسيط لهذه العلامات علينا القيام بالآتي:
  • إيجاد المجموع التراكمي للتكرارات، ليصبح الجدول كالآتي:


العلامة
0
1
2
3
4
التكرار
11
9
5
10
15
التكرار التراكمي
0+ 11 = 11
11+ 9 = 20
20+5 = 25
25+ 10 = 35
35+ 15 = 50


  • حساب العدد الكلي للمشاهدات (ن) = المجموع الكلي للتكرارات = 11+9+5+10+15 = 50 (عدد زوجي)
  • بما أن عدد المشاهدات (زوجي) فسنحصل على رتبتي وسيط، بحيث تكون رتبة الوسيط الأولى = (ن/2) = (50/ 2)= 25، ورتبة الوسيط الثانية ((ن/2)+1) = ((50/2)+1)= 26.
  • تقع رتبة الوسيط الأولى ضمن المشاهدة التي تكرارها التراكمي (25) وهي والعلامة (2))، بينما تقع رتبة الوسيط الثانية (26) (ضمن المشاهدة التي تكرارها التراكمي (35) وهي العلامة (3)، بالتالي سيكون الوسيط هو الوسط الحسابي للقيمتين (2) و(3) .
  • الوسيط = (2+3)/2 = 2.5.


الوسيط لجدول تكراري يتضمن فئات تكرارية

يمكن إيجاد الوسيط لجدول تكراري يتضمن بيانات على شكل فئات تكرارية من خلال عدة خطوات هي:[٥]

  • إيجاد العدد الإجمالي للمشاهدات (ن) = المجموع الكلي للتكرارات.
  • حساب التكرار التراكمي لكل فئة وهو عبارة عن تكرارات الفئات السابقة يضاف إليه تكرار الفئة الحالية.
  • تحديد الفئة التي يقع فيها الوسيط وهي أول فئة يزيد تكرارها التراكمي عن قيمة (ن/2) أو يساويها.
  • تحديد طول فئة الوسيط (ل) = (الحد الأعلى للفئة - الحد الأدنى للفئة) +1.
  • ايجاد الحد الفعلي الأدنى لفئة الوسيط (ع) = (الحد الأدنى للفئة - 0.5)، والتكرار التراكمي للفئة السابقة للفئة المحتوية على الوسيط (ج).
  • تحديد تكرار فئة الوسيط (ت).
  • تطبيق الصيغة الآتية:
  • الوسيط = .


  • مثال: احسب الوسيط للبيانات الآتية:[٥]


عدد الثواني
(51- 55)
(56- 60)
(61- 65)
(66- 70)
التكرار
2
7
8
4


  • الحل:
  • لايجاد الوسيط لهذه العلامات علينا القيام بالآتي:[٥]
  • إيجاد العدد الإجمالي للمشاهدات (ن) = المجموع الكلي للتكرارات = 2+7+8+4 = 21
  • حساب التكرار التراكمي لكل فئة وهو عبارة عن تكرارات الفئات السابقة يضاف إليه تكرار الفئة الحالية:


عدد الثواني
(51- 55)
(56- 60)
(61- 65)
(66- 70)
التكرار
2
7
8
4
التكرار التراكمي
0+ 2 = 2
2+ 7 = 9
9+ 8 = 17
17+ 4 = 21


  • تحديد الفئة التي يقع فيها الوسيط وهي أول فئة يزيد تكرارها التراكمي عن قيمة (ن/2)، حيث (ن/2) = (21/ 2)= 10.5، بالتالي تكون الفئة (61-65) هي فئة الوسيط.
  • تحديد طول فئة الوسيط (ل) = (65 - 61) + 1 = 5.
  • إيجاد الحد الأدنى لفئة الوسيط (ع) = 61 - 0.5 = 60.5 ، والتكرار التراكمي للفئة السابقة للفئة المحتوية على الوسيط (ج) = 9.
  • تحديد تكرار فئة الوسيط (ت) = 8.
  • تطبيق الصيغة الآتية:
  • الوسيط = .
  • الوسيط = 60.5 + 5 × ((10.5 - 9)/ 8).
  • الوسيط = 60.5 + 0.9375 = 61.4375.









المراجع

  1. ↑ "median", byjus, 23-8-2021, Retrieved 23-8-2021. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث "how to find median", cuemath, 23-8-2021, Retrieved 23-8-2021. Edited.
  3. ^ أ ب "Mean, median, and mode review", khanacademy, 23-8-2021, Retrieved 23-8-2021. Edited.
  4. ^ أ ب ت ث "median frequency table ", onlinemathlearning, 6-9-2021, Retrieved 6-9-2021. Edited.
  5. ^ أ ب ت "Mean, Median and Mode from Grouped Frequencies", mathsisfun, 6-9-2021, Retrieved 6-9-2021. Edited.