التعريف بالمتوسط الحسابي

المتوسط الحسابي (بالإنجليزية: Arithmetic Mean) أو الوسط الحسابي (بالإنجليزية: Average) هو واحد من المصطلحات التي يتم استخدامها في علم الإحصاء، وهو يعبر عن النسبة بين مجموع القيم إلى العدد الإجمالي لهذه القيم في مجموعة البيانات التي يتم دراستها، ومن الأمثلة على استخدام المتوسط الحسابي في الحياة اليومية ما يأتي:[١][٢][٣]

  • متوسط ​​دخل الموظفون في مؤسسة ما.
  • متوسط ​​هطول الأمطار في منطقة معينة.
  • متوسط ​​الدخل الشهري لعائلة معينة.
  • متوسط علامات الطلبة في الامتحان النهائي لمادة ما.
  • متوسط عدد الزوار لمدينة ألعاب ترفيهية في سنة معينة.




يمكن حساب المتوسط الحسابي لقيمتين فقط من خلال جمع القيميتن وقسمتهما على الرقم 2، فالمتوسط الحسابي للقيمتين 20 و 40 على سبيل المثال هو 20 + 40/ 2 = 60/2 = 30.




الرمز المُستخدم في التعبير عن المتوسط الحسابي

يرمز للمتوسط الحاسبي أو الوسط الحسابي في علم الإحصاء عادةً بوضع خط مستقيم فوق رمز القيمة المُراد معرفة المتوسط الحاسبي لها، فإذا أردنا حساب متوسط القيمة x في مجموعة البيانات، فإننا نرمز للمتوسط الحسابي بوضع شريط صغير فوق الرمز x، بهذا الشكل؛ x̄، وتُقرأ x بار (شريط) أو متوسط القيمة x.[١][٢]


قانون حساب المتوسط الحسابي

يتم حساب المتوسط الحسابي أو الوسط الحسابي لمجموعة قيم معينة في مجموعة البينات باستخدام القانون الرياضي الآتي:[١][٢]


المتوسط الحسابي = مجموع القيم في مجموعة البيانات/ عدد القيم نفسها

ويمكن التعبير عن العلاقة السابقة بالرموز كالآتي:

n / (x1 + x2 + x3 + ... xn) = x̄


حيث إن:

  • x̄: المتوسط الحسابي للقيم
  • x1 / x2 / x3 / ... xn: القيم المُراد حساب المتوسط الحسابي لها
  • n: عدد القيم المُراد حساب المتوسط الحسابي لها


مثال

إذا علمت أن أطوال مجموعة من الطلبة كالآتي: أحمد: 1.5 متر، علي: 1.8 متر، محمد: 1.4 متر، خالد: 1.68، عامر: 1.9 متر، فما المتوسط الحسابي لأطوال الطلبة الخمسة؟


x̄ = (1.5 + 1.8 + 1.4 + 1.68 + 1.9)/5

x̄ = 8.28 / 5

x̄ = 1.656 متر


ويمكن استخدام العلاقة الرياضية الآتية عند تكرر جميع القيم أو بعضها أكثر من مرة في مجموعة البيانات لتسهيل عملية حساب المتوسط الحسابي لها:[١][٢]


المتوسط الحسابي = (القيمة الأولى × عدد مرات تكرارها + القيمة الثانية × عدد مرات تكرارها + ... القيمة الأخيرة × عدد مرات تكرراها) / عدد التكرارات في مجموعة البيانات

ويمكن التعبير عن العلاقة السابقة بالرموز كالآتي:

x̄ = (x₁f₁ + x₂f₂ + ... + xₙfₙ) / ∑fi


حيث إن:

f₁+ f₂ + ... + fₙ = ∑fi


مثال

إذا علمت أن راتب 6 موظفين في شركة ما هو 500 دينار فما متوسط رواتب هؤلاء الموظفين؟

x̄ = (500 × 6) / 6

x̄ = 3000/6

x̄ = 500


أهم خواص المتوسط الحسابي

فيما يأتي ذكر لأهم خواص المتوسط الحسابي أو الوسط الحسابي في علم الإحصاء:[١]

  • إذا كانت جميع القيم المُراد حساب المتوسط الحسابي لها في مجموعة البينات متطابقة، فإن المتوسط الحسابي يكون مطابقًا لنفس القيمة، على سبيل المثال، إذا كان 5 موظفين يتقاضون جميعًا راتب مقداره 400 دينار، فإن المتوسط الحسابي لرواتبهم يكون 400 أيضًا؛ وللتأكد يمكن حساب المتوسط الحسابي لرواتب الموظفين الخمسة كالآتي: 400 + 400 + 400 + 400 + 400/ 5 فيكون الناتج 2000/5 = 400.
  • مجموع الانحرافات الجبرية لمجموعة القيم عن الوسط الحسابي لها هو صفر؛ أي أن (x₁ − x̄) + (x₂ − x̄) + (x₃ − x̄) + ... + (xₙ − x̄) = صفر دائمًا، ويمك التعبير عن ذلك بالعلاقة الآتية: (xi − x̄)∑ = صفر.
  • إذا زادت أو نقصت كل قيمة في البيانات بمقدار ثابت، فإن المتوسط ​​يزيد أو ينقص بنفس المقدار أيضًا، أي أنه إذا ازدادت كل قيم x بمقدار k على سبيل المثال فإن المتوسط الحسابي يزداد بمقدار k أيضًا، ويمكن التعبير عن ذلك كالآتي: x₁+k, x₂+k, x₃ +k … xₙ+k إذًا المتوسط الحسابي يصبح k + x̄ والقاعدة نفسها تنطبق على القسمة والضرب، فضرب جميع القيم بنفس المقدار يعني أن المتوسط الحسابي لهذه القيم سيضرب بنفس المقدار، وقسمة جميع القيم على مقدار معين، يعني قسمة المتوسط الحسابي لها على نفس المقدار أيضًا، لكن بشرط أن لا يكون الرقم الذي تم ضربه في القيم أو قسمة القيم عليه هو صفر.


مزايا وسلبيات المتوسط الحسابي

يستخدم المتوسط الحسابي في علم الإحصاء، والرياضيات، وفي العلوم التجريبية، والاقتصاد، وعلم الاجتماع، والهندسة بفرعوها، وفي العديد من التخصصات الأكاديمية الأخرى المختلفة، وذلك لما يتمتع به المتوسط الحسابي من مزايا جيدة، وعلى الرغم من ذلك، فهو يمتلك العديد من السلبيات أيضًا، وفيما يأتي ذكر لأبرز مزايا وسلبيات المتوسط الحسابي:[١][٢]


مزايا المتوسط الحسابي

من أهم المزايا التي يتمتع بها المتوسط الحسابي ما يأتي:

  • يمتلك المتوسط الحسابي قانوناً ثابتاً أو صيغة جبرية محددة، ولذلك فإن النتيجة لا تتغير، إذ إنه لا يتأثر بموضع القيمة في مجموعة البيانات.
  • يأخذ المتوسط الحسابي كل قيمة موجودة في مجموعة البيانات بعين الاعتبار ولا يتجاهل أي قيمة، فهو يعتمد على جميع القيم في مجموعة البيانات.
  • يمكن فهم وإيجاد الوسيط الحسابي بيسر وسهولة وبشكل سريع أيضًا.
  • يقدم نتائج مفيدة عند استخدامه في أي مجال من مجالات الحياة اليومية المختلفة، حتى عند وجود مجموعات كبيرة من الأرقام والقيم.
  • يتم استخدامه كثيرًا في عمليات التحليل الإحصائي.


سلبيات المتوسط الحسابي

من أهم السلبيات التي يتضمنها المتوسط الحسابي ما يأتي:

  • يتأثر المتوسط الحسابي بالقيم القصوى الموجودة في مجموعة البيانات.
  • لا يمكن استخدام المتوسط الحسابي إلا إذا كانت جميع القيم في مجموعة البيانات معلومة، أما إذا كانت إحدى القيم مجهولة على سبيل المثال؛ فإن من غير الممكن استخدام المتوسط الحسابي عندها.
  • يمكن استخدام المتوسط الحسابي مع مجموعات البيانات الرقمية فقط، أما مجموعات البيانات الاسمية أو النوعية فلا يمكن استخدامه فيها، مثل استخدامه لمعرفة متوسط الذكاء العاطفي عند مجموعة أشخاص على سبيل المثال.


المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج ح "Arithmetic Mean", cuemath, Retrieved 17/10/2022. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث ج "Arithmetic Mean And Range", byjus, Retrieved 17/10/2022. Edited.
  3. ↑ "arithmetic mean", techtarget, Retrieved 17/10/2022. Edited.