قوانين اللوغاريتمات

تعتبر اللوغاريتمات طريقة أخرى لكتابة الأسس في الرياضيات، فهو الاقتران المعاكس تماماً للأسس؛ فمثلاً 10^2 = 100، و لو10 (100) = 2، وكقاعدة عامة فإن: س^ل = ص، ومنه: لو س(ص) = ل، ويعبّر عن س بأنه أساس اللوغاريتم، ويمكن قراءة الاقتران على أنه: لوغاريتم ص للأساس س يساوي ل.[١]



أما عن قوانين اللوغاريتمات فهي تعبر عن القواعد المستخدمة لحل اللوغاريتمات وتبسيطها، ومن أبرز قواعد اللوغاريتم المستخدمة ما يأتي:[٢]


  • قاعدة الضرب: لوب (م×ن) = لوب (م) + لوب (ن).
  • قاعدة القسمة : لوب (م/ن) = لوب (م) - لوب (ن).
  • قاعدة الأس: لوب (ن^م) = م لوب (ن).
  • لو ب (0) = قيمة غير معرفة.
  • لو ب (1) = 0.
  • لو ب (ب) = 1.
  • لو ب (أ) = 1/ لو أ (ب).


شرح قوانين اللوغاريتمات

فيما يأتي شرح لأبرز قوانين اللوغاريتمات:


قاعدة الضرب

لوب (م×ن) = لوب (م) + لوب (ن).

وهي تعني أن قيمة اللوغاريتم لقيمتين مضروبتين ببعضهما البعض يساوي قيمة حساب كل لوغاريتم بمفرده، ثم حساب حاصل جمعهما معاً؛ فعلى سبيل المثال: [١]

لو3 (2س) = لو3 (2) + لو3 (س).


قاعدة القسمة

لوب (م/ن) = لوب (م) - لوب (ن).

وهي تعني أن قيمة اللوغاريتم لقيمتين مقسومتين على بعضهما البعض يساوي قيمة حساب كل لوغاريتم بمفرده، ثم حساب حاصل طرحهما من بعضهما البعض؛ فعلى سبيل المثال: [١]

لو3 (2/س) = لو3 (2) - لو3 (س).


قاعدة الأس

لوب (ن^م) = م لوب (ن)

وفيها يكون قيمة لوغاريتم العدد المرفوع لأس معين مساوٍ لقيمة لوغاريتم العدد مضروباً في ذلك الأس؛ فمثلاً: [١]

لوب (س^3) = 3 لوب (س)


لوغاريتم العدد الواحد

لو ب (1) = 0

وهي تعني أن لوغاريتم العدد 1 دائماً يساوي 0 مهما اختلفت قيمة أساس اللوغاريتم؛ فمثلاً: لو 3 (1) = 0، لو 5 (1) = 0.


أمثلة على قوانين اللوغاريتمات

  • المثال الأول: جد قيمة ما يأتي باستخدام قوانين اللوغاريتمات: لو2 (8) + لو2 (4).[١]
  • الحل:
  • يمكن حل هذه المسألة باستخدام عدة طريق منها استخدام قاعدة الضرب، وهي:
  • لوب (م×ن) = لوب (م) + لوب (ن)، وبتطبيقها على المسألة السابقة ينتج أن:
  • لو2 (8) + لو2 (4) = لو2 (8×4) = لو2 (32) = 5


  • المثال الثاني: اكتب التعبير الآتي بأبسط صورة باستخدام قوانين اللوغاريتمات: لو3 (27×س^2×ص^5).[١]
  • الحل:
  • يمكن حل هذه المسألة ضمن مرحلتين الأولى باستخدام قاعدة الضرب لينتج أن
  • لوب (م×ن) = لوب (م) + لوب (ن)، ومنها:
  • لو3 (27×س^2×ص^5) = لو3 (27) + لو3 (س^2) + لو3 (ص^5)
  • استخدام قاعدة الأس لتبسيط المسألة بشكل أكبر، وهي:
  • لو ب (ن^م) = م لوب (ن)، وبتطبيقها على المسألة السابقة ينتج أن:
  • لو3 (27) + لو3 (س^2) + لو3 (ص^5) = لو3 (27) + 2 لو3 (س) + 5 لو3 (ص).


  • المثال الثالث: جد قيمة س باستخدام قوانين اللوغاريتمات: لو3 (س+2) - لو3 (س) = 2.[٣]
  • الحل:
  • يمكن حل هذه المسألة باستخدام قاعدة القسمة، وهي: لوب (م/ن) = لوب (م) - لوب (ن)، لينتج أن:
  • لو3 (س+2) - لو3 (س) = لو3 ((س+2)/س) = 2، ومنها ينتج أنّ:
  • (س+2)/س = 3^2 = 9، وبحل المعادلة عبر ضرب الطرفين بـ س ينتج أن:
  • س+2 = 9س، وبطرح س من الطرفين ينتج أنّ:
  • 8س = 2، وبقسمة الطرفين على 8 ينتج أنّ: س= 1/4.



المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج ح "Logarithms", byjus.com, Retrieved 4/9/2023. Edited.
  2. ↑ "Log Rules", cuemath.com, Retrieved 4/9/2023. Edited.
  3. ↑ "Logarithm Rules", rapidtables.com, Retrieved 4/9/2023. Edited.