الأسس النسبية: شرح تفصيلي

ما هي الأسس النسبية؟

يمكن تعريف الأسس النسبية أو الأسس الكسرية (بالإنجليزية: Rational exponents) بأنها الأسس التي تكون على شكل كسور وليس على شكل أعداد صحيحة مثل 5^1/8، وعادة ما يمكن تحويل الأس النسبي إلى شكله الجذري المكافئ له بكل سهولة، كما أن قوانين الأسس يمكن تطبيقها على الأسس النسبية بشكل مماثل تماماً للأنواع الأخرى من الأسس.^[١]

كيفية تحويل الأسس النسبية إلى الجذور المكافئة لها

يمكن تحويل الأسس النسبية إلى الجذور المكافئة لها عبر اتباع القانون الآتي:^[٢]

• أ^م/ن = أ^م√ن؛ حيث:^[٢]
• أ هو أي عدد حقيقي غير مساوي للصفر، ن: هو أي عدد مساوي أو يزيد عن 2؛ وهذا يعني أن مقام كسر الأس يعبر عن قيمة الجذر؛ فقيمة الجذر هنا هي ن، أما قيمة م فهي تعبر عن قوة أو أس العدد الموجود داخل الجذر.

• فمثلاً يمكن كتابة الأس النسبي:^[٢]
• 6^2/1 على شكل جذر على النحو الآتي: 6√2.
• وكتابة 6^3/2 على شكل جذر على النحو الآتي: (6)^2√3.

أمثلة على تحويل الأسس النسبية إلى الجذور المكافئة لها

• المثال الأول: اكتب الأسس النسبية الآتية على شكل الجذور المكافئة لها: 16^2/1، 16^4/1.^[٢]

• الحل:
• يمكن كتابة هذه الأسس على شكل الجذور المكافئة له من خلال اتباع القاعدة السابقة: أ^م/ن = أ^م√ن؛ لينتج أن:
• 16^1/2 = 16√2 = (4×4)√2 = 4
• 16^1/4 = 16√4 = (2×2×2×2)√4 = 2

• المثال الثاني: اكتب الأس النسبي الآتي على شكل الجذر المكافئ له: (64س^3) 3/1.^[٢]

• الحل:
• يمكن كتابة هذا الأس على شكل الجذر المكافئ له من خلال اتباع القاعدة السابقة: أ^م/ن = أ^م√ن؛ لينتج أن:
• (64س^3) 3/1= (64×س^3) √3 = (4×4×4)×(س^3) √3 = 4س.

• المثال الثالث: اكتب الجذر الآتي على شكل أس نسبي: (س3) √5.^[٢]

• الحل:
• يمكن كتابة هذا الجذر على شكل أس نسبي من خلال اتباع القاعدة السابقة: أ^م/ن = أ^م√ن؛ لينتج أن:
• (س3) √5 = س 5/3

القواعد المتعلقة بالعمليات الحسابية على الأسس النسبية

تنطيق قواعد الأسس الحسابية بشكل عام على الأسس النسبية كما ذُكر سابقاً، ومن أبرز هذه القواعد ما يأتي:^[٣]

• أ^م/ن × أ^هـ/و = أ^(م/ن+هـ/و).
• أ^م/ن / أ^هـ/و = أ^(م/ن-هـ/و).
• أ^م/ن × ب^م/ن = (أب)^م/ن.
• أ^م/ن / ب^م/ن = (أ/ب)^م/ن
• أ^(-م/ن) = (1/أ)^م/ن.
• أ^(0/ن) = أ^(0) = 1.
• (أ^م/ن) ^هـ/و = أ^(م/ن×هـ/و).

أمثلة على العمليات الحسابية على الأسس النسبية

• المثال الأول: اكتب حاصل ضرب الأسس النسبية الآتية بأبسط صورة: 4×2(س)^3/2× 7(س)^4/5.^[٣]

• الحل:
• يمكن كتابة حاصل ضرب الأسس النسبية هذه من خلال ترتيب التعبير السابق أولاً للحصول على أساس متساوٍ للأسس النسبية:
• 4×2(س)^3/2× 7(س)^4/5 = (4×2×7)× (س)^3/2× (س)^4/5.
• اتباع القاعدة: أ^م/ن × أ^هـ/و = أ^(م/ن+هـ/و).؛ لينتج أن:
• 4×(2س)^3/2× (7س)^4/5 = (4×2×7)× (س)^3/2× (س)^4/5 = 56 × (س)^(4/5+3/2) = 56 × (س)^(12/23) .

• المثال الثاني: اكتب حاصل قسمة الأسس النسبية الآتية بأبسط صورة: (7)^4/5/(7)^4/3 × (7)^2/1 .^[٣]
• الحل:
• اتباع القاعدة: أ^م/ن / ب^م/ن = (أ/ب)^م/ن أولاً؛ لينتج أن:
• (7)^4/5/(7)^4/3 × (7)^2/1 = (7)^(4/3-4/5)× (7)^2/1 = (7)^(4/2)× (7)^2/1
• اتباع القاعدة: أ^م/ن × أ^هـ/و = أ^(م/ن+هـ/و).؛ لينتج أن:
• (7)^(4/2)× (7)^2/1 = (7)^(4/2+2/1) = 7 ^(1) = 7.