نظرة عامة حول مفهوم التباديل والتوافيق في الرياضيات
يمكن تعريف التباديل والتوافيق بأنهما قانونان من قوانين الاحتمالات في الرياضيات، وهما يساهمان في توزيع العناصر في المجموعات العددية المختلفة، وتشكيل مجموعات فرعية أخرى منها، وقد يكون من المهم المحافظة على الترتيب الدقيق والثابت لعناصر المجموعة الواحدة، وهذا ما يسمى بالتباديل (بالإنجليزية: Permutation)، وفي الحالة الأخرى يتم ترتيب عناصر المجموعة الواحدة دون الاهتمام بترتيبها، وهذا ما يسمى بالتوافيق (بالإنجليزية: Combination).[١]
مثال لتوضيح مفهوم التباديل والتوافيق
عند التعبير عن كميات معينة أو أشياء معينة في الرياضيات، فإننا مثلًا نقول إن لدينا كرسياً وطاولة وكتاباً، أو كتابًا وكرسياً وطاولة، أو طاولة وكتابًا وكرسياً، ولا يهم الترتيب عندها، أما إذا قلنا أن الرقم السري لفتح هاتف ما هو 321، فإننا أيضًا نهتم بالترتيب، فلا يصلح أن نعتبر أن 132 هي نفسها 321، ومن هنا نستنتج أنه:[٢]
- عندما نكون مهتمين بترتيب القيم أو الأشياء، فهذا يسمى تباديل، حيث إن التباديل تهتم بترتيب العناصر داخل المجموعة الوحدة.
- عندما لا يكون مهمًا ترتيب القيم أو الأشياء، فهذا يسمى توافيق، حيث إن التوافيق لا تهتم بترتيب العناصر داخل المجموعة الواحدة.
التعريف بالتباديل وقانون حسابها
يمكن تعريف التباديل أو التراتيب في الرياضيات بأنها عدد الترتيبات التي يمكن تكوينها من عدة قيم أو عدة أشياء، أو عدد الاحتمالات التي يمكن من خلالها ترتيب عناصر مجموعة معينة ترتيبًا ثابتًا ودقيقًا دون تغيير.[٣][٤]
مثال لتوضيح مفهوم التباديل في الرياضيات:
على سبيل المثال إذا كان 8 لاعبين يتنافسون في الحصول على الجائزة الذهبية والفضية والبرونزية، ولنقل إن لكل لاعبٍ منهم رمزًا معيناً، وكان هؤلاء اللاعبون هم اللاعب A، واللاعب B، واللاعب C، واللاعب D، واللاعب E، واللاعب F، واللاعب G، واللاعب H، فإذا اعتبرنا أن الفائز بالجائزة الذهبية هو اللاعب A، فإن عدد اللاعبين الذي سيتنافسون على الجائزة الفضية هو 7 وهم اللاعبون (B C D E F G H)، وعند فوز اللاعب C مثلًا بالجائز الفضية، فإن 5 لاعبين سيتنافسون على الجائزة البرونزية وهم (B D E F G H).[٣]
هذا يعني أننا في المثال أردنا اختيار 3 لاعبين من أصل 8 لاعبين للفوز بـ 3 جوائز مع أهمية الترتيب، وللتعبير عن ذلك يمكن استخدام العلاقة الآتية:
قانون حساب التباديل:
بناءً على المثال، فإننا نعبر عن قانون حساب التباديل في الرياضيات؛ إذا كان لدينا عناصر عددها n وكنا نريد العثور على عدد الطرق التي يمكن بها اختيار عناصر عددها k مع الاهتمام بترتيب هذه العناصر كالآتي:[٣]
يشترط في قانون التباديل دائمًا أن تكون k < n، أما علامة التعجب ! في قانون التباديل فهي تعبر عن المضروب، وهي تعني الرقم مضروبًا بكل الأرقام التي قبله، على سبيل المثال:
8! = 8×7×6×5×4×3×2×1
التعريف بالتوافيق وقانون حسابها
يمكن تعريف التوافيق في الرياضيات بأنها عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار قيم أو أشياء لمجموعة معينة دون مراعاة الترتيب، أو عدد الاحتمالات التي يمكن من خلالها اختيار عناصر مجموعة معينة دون الاهتمام بترتيبها ترتيبًا ثابتًا، وهنا يكمن الفرق بين التباديل والتوافيق.[٣][٤]
مثال لتوضيح مفهوم التوافيق في الرياضيات:
على سبيل المثال إذا أردنا توزيع 3 تفاحات على ثلاثة أشخاص هم أحمد، وعلي، وخالد، فإن الترتيب هنا غير مهم، لأنه يمكننا إعطاء علي ثم أحمد ثم خالد، أو خالد ثم علي ثم أحمد، لا فرق، وهذا يعني أنه يوجد عدد محدد للطرق التي يمكننا اختيارهم فيها.[٣]
قانون حساب التوافيق:
يتم حساب التوافيق في الرياضيات باستخدام القانون الآتي:[٣]
أو بالصيغة الآتية:
أمثلة حسابية على التباديل والتوافيق
فيما يأتي أسئلة على التباديل والتوافيق مع إجاباتها:[٣]
مثال على حساب التوافيق
كم عدد الطرق الممكنة لاختيار 3 أشخاص لفريق معين من ضمن 10 أشخاص؟
بما أن المثال لم يشترط الترتيب، لأننا نريد تكوين فريق من 3 أشخاص من ضمن الـ 10 دون أهمية لترتيب الاختيار، فإن هذا يعد مثالًا على التوافيق، ولحساب عدد الطرق الممكنة نستخدم قانون التوافيق كالآتي:
يمكن كتابة الـ 10! بالشكل الآتي: 10! = 10 × 9 × 8 × 7!
وعليه فإن:
الآن تحذف الـ 7! في البسط مع الـ 7! في المقام، فتصبح المسألة كالآتي:
بإجراء عملية الضرب:
والآن يكون عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار 3 أشخاص مختلفين من ضمن 10 أشخاص لتشكيل فريق معين هو:
إذًا عدد الطرق الممكنة هو 120 طريقة مختلفة.
مثال على حساب التباديل
كم عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار 3 أشخاص لحفل معين بحيث يؤدي كل منهم مهمة محددة له، من ضمن 10 أشخاص؛ ليكون أولهم مقدم الحفل، وثانيهم منظم الحفل، وثالثهم المسؤول عن الموسيقى في الحفل؟
المثال هنا اشترط الترتيب أثناء الاختيار، ولهذا فإن السؤال يعد مثالًا على التباديل، ولحساب عدد الطرق الممكنة نستخدم قانون التباديل كالآتي:
ثم نطبق معطيات السؤال:
يمكن كتابة الـ 10! بالشكل الآتي: 10! = 10 × 9 × 8 × 7!
وعليه فإن:
الآن تحذف الـ 7! في البسط مع الـ 7! في المقام، فتصبح المسألة كالآتي:
عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار 3 أشخاص لأداء 3 وظائف مرتبة في الحفل من ضمن 10 أشخاص هو 720 طريقة.
المراجع
- ↑ "permutations and combinations", britannica, Retrieved 31/8/2022. Edited.
- ↑ "Combinations and Permutations", mathsisfun, Retrieved 31/8/2022. Edited.
- ^ أ ب ت ث ج ح خ "Easy Permutations and Combinations", betterexplained, Retrieved 31/8/2022. Edited.
- ^ أ ب "Permutations and Combinations", hyperphysics, Retrieved 1/9/2022. Edited.
