ما هي قاعدة لوبيتال؟

تعتبر قاعدة لوبيتال (L’Hospital) من القواعد المهمة في حساب التفاضل والتكامل، وهي تعتمد على حساب مشتقة الاقترانات لحساب قيمة النهايات التي تظهر بصورة 0/0 أو ∞/∞ أو 0^0 أو ∞^0 عند تعويض الأعداد بشكل مباشر فيها، والشكل العام لهذه القاعدة هو: [١]

  • نهــا س←و ق(س)/هـ(س) = نهــا س←و قَ(س)/هـَ (س).


وهي تعني أن قيمة النهاية التي يمكن الحصول عليها عند قسمة اقتران على آخر تساوي قيمة النهاية التي يمكن الحصول عليها بعد حساب مستقة اقتران البسط ومشتقة اقتران المقام.[٢]


كيفية تطبيق قاعدة لوبيتال

يمكن تطبيق قاعدة لوبيتال عند حساب قيمة النهاية بعد تعويض العدد مباشرة فيها والحصول على إحدى الصور 0/0 أو ∞/∞ أو 0^0 أو ∞^0، واستخدام قاعدة لوبيتال يعني أنه يمكن حساب قيمة النهاية عبر اشتقاق كل من الاقترانين الموجودين في البسط والمقام، وتعويض العدد مرة أخرى فيهما، وفي حال الحصول على قيمة معينة فهذا يعني أن هذه هي قيمة النهاية، أما في حال الحصول على الصورة 0/0 أو ∞/∞ أو 0^0 أو ∞^0 مرة أخرى فهذا يعني ضرورة تكرار تطبيق لوبيتال واشتقاق الاقترانين حتى الحصول على قيمة عددية محددة تمثل قيمة النهاية.[١]


أمثلة على قاعدة لوبيتال


  • المثال الأول: جد قيمة ما يأتي: نهــاس←2- (س+2)/(س2 + 3س +2).[٣]
  • الحل:
  • بتعويض العدد 2- في النهاية مباشرة ينتج أن:
  • نهــاس←2- ((2-)+2)/((2-)×(2-) + 3×2- +2) = 0/0.
  • ولحل هذه النهاية باستخدام قاعدة لوبيتال يجب حساب مشتقة البسط ومشتقة المقام لينتج أنّ:
  • نهــاس←2- (س+2)/(س2 + 3س +2) = نهــاس←2- 1/ (2س+3)
  • بتعويض القيمة 2- في النهاية بعد الاشتقاق ينتج أنّ:
  • نهــاس←2- 1/ (2س+3) = 1/((2×-2) +3) = 1/ (-4 +3) = 1/1- = 1-.


  • المثال الثاني: جد قيمة ما يأتي: نهــاس←0 (2 جا(س)- جا (2س)) / (س - جا(س)).[١]
  • الحل:
  • بتعويض العدد 0 في النهاية مباشرة ينتج أن:
  • نهــاس←0 (2 جا(س)- جا (2س)) / (س - جا(س)) = (2 جا(0)- جا (0)) / (0 - جا(0)) = 0/0.
  • ولحل هذه النهاية باستخدام قاعدة لوبيتال يجب حساب مشتقة البسط ومشتقة المقام لينتج أنّ:
  • نهــاس←0 (2 جا(س)- جا (2س)) / (س - جا(س)) = (2جتا (س) - 2جتا (2س))/(1-جتا(س))
  • بتعويض القيمة 0 في النهاية بعد الاشتقاق ينتج أنّ:
  • نهــاس←0 (2جتا (0) - 2جتا (2×0))/(1-جتا(0)) = 2 -2 / 1-1 = 0/0.


  • وبسبب الحصول على القيمة 0/0 مرة أخرى يجب تطبيق قاعدة لوبيتال مرة ثانية لينتج أنّ:
  • نهــاس←0 (2جتا (س) - 2جتا (2س))/(1-جتا(س)) = نهــاس←0 (-2جا (س) + 4 جا (2س))/جا(س).
  • بتعويض القيمة 0 في النهاية بعد الاشتقاق الثاني ينتج أنّ:
  • نهــاس←0 (-2جا (س) + 4 جا (2س))/جا(س) = (-2جا (0) + 4 جا (2×0))/جا(0) = 0/0.


  • وبسبب الحصول على القيمة 0/0 مرة أخرى يجب تطبيق قاعدة لوبيتال مرة ثالثة لينتج أنّ:
  • نهــاس←0 (-2جا (س) + 4 جا (2س))/جا(س) = نهــاس←0 (-2×جتا (س) + 4×2 جتا (2س))/جتا(س)
  • بتعويض القيمة 0 في النهاية بعد الاشتقاق الثاني ينتج أنّ:
  • نهــاس←0 (-2×جتا (س) + 4×2 جتا (2س))/جتا(س) = (-2×جتا (0) + 4×2 جتا (2×0))/جتا(0) = (-2×0 + 4×2×1)/1 = (-2+8) = 6.



المراجع

  1. ^ أ ب ت "L'Hospital's Rule", byjus.com, Retrieved 7/9/2023. Edited.
  2. ↑ "L'Hôpital's Rule", mathsisfun.com, Retrieved 7/9/2023. Edited.
  3. ↑ "L'Hopital's Rule", calcworkshop.com, Retrieved 7/9/2023. Edited.