تعريف المشتقات
تعرف المشتقات (بالإنجليزية: Derivatives) في علم الرياضيات بأنها معدل التغير اللحظي في الدالة بالنسبة لمتغير من متغيراتها، وتسمى عملية إيجاد المشتقة بالتفاضل أو الاشتقاق (بالإنجليزية: Differentiation)، والمشتقة هي ميل المنحنى البياني للدالة أو ميل خط المماس عند نقطة معينة عليه.[١]
قانون حساب المشتقة باستخدام النهايات
يرمز لمشتقة الدالة ق(س) بالرمز قَ(س)، ويمكن حساب المشتقة باستخدام النهايات من خلال العلاقة الآتية:[٢]
قَ(س)= نها (ق(س)- ق(س+هـ))/هـ، عندما تقترب هـ من الصفر.
قواعد المشتقات في علم الرياضيات
تعد عملية إيجاد قيمة المشتقة أو الاشتقاق باستخدام تعريفها الفعلي أو باستخدام النهايات عملية صعبة بعض الشيء ولذا فقد تم وضع مجموعة من القواعد التي تسهل من عملية الاشتقاق،[٣] وفيما يأتي القواعد الأساسية للمشتقات في الرياضيات:[٣]
قاعدة العدد الثابت
إذا كان ج عدد ثابت، وكان ق(س)= ج فإن: قَ(س)= 0.
أي أن مشتقة العدد الثابت تساوي صفر دائمًا.[٣]
قاعدة القوة
إذا كان ن عدد صحيح موجب، وكان ق(س)= س^ن، فإن قَ(س)= ن س^ (ن-1).[٣]
قاعدة الجمع والطرح للمشتقات
عند جمع أو طرح أكثر من اقتران، ثم الرغبة بإيجاد المشتقة لهذه الاقترانات المجموعة أو المطروحة، فإنه يتم اشتقاق كل اقتران على حدة مع المحافظة على إشارة الجمع والطرح بين الاقترانات، أي أنه إذا كان:[٣]
- ل(س)= ق(س) + د(س)
- فإن لَ(س)= قَ(س) + دَ(س)
- أي أنّ: مشتقة جمع اقترانين= مشتقة الأول + مشتقة الثاني
- وفي حالة الطرح، إذا كان:
- ل(س)= ق(س) - د(س)
- فإن لَ(س)= قَ(س) - دَ(س)
- أي أنّ: مشتقة طرح اقترانين= مشتقة الأول - مشتقة الثاني
قاعدة العدد الثابت المضروب بالاقتران
إذا كان ك عدد ثابت مضروب بالاقتران ق(س)، أي أن ل(س)= ك ق(س)، فإنّ: لَ(س)= ك قَ(س).[٣]
قاعدة الضرب للمشتقات
عند اشتقاق اقترانين مضروبين ببعضهما البعض فإن طريقة الاشتقاق تكون مختلفة عن قاعدة الجمع والطرح، فإذا كان:[٣]
- ل(س)= ق(س)هـ(س)
- فإن: لَ(س)= قَ(س)هـ(س) + هـَ(س)ق(س)
- أي أنّ: مشتقة حاصل ضرب اقترانين = [مشتقة الأول × الثاني + الأول × مشتقة الثاني]
قاعدة القسمة للمشتقات
إذا كان كل من الاقترانين ق(س) وهـ(س) قابلين للاشتقاق، وكان:[٣]
- ل(س)= ق(س)/هـ(س)
- فإن: لَ(س)= (قَ(س)هـ(س) - هـَ(س)ق(س))/ (هـ(س)^2)
- أي أنّ: مشتقة اقترانين مقسومان على بعضهما البعض= (مشتقة البسط × المقام) – (مشتقة المقام× البسط)/ مربع المقام، بشرط أن لا تكون قيمة اقتران المقام تساوي 0.
قاعدة القوة السالبة
إذا كان ك عدد صحيح سالب، وكان ق(س)= س^ك، فإن قَ(س)= ك س^(ك-1).[٣]
قاعدة السلسلة
إذا كان هـ(س)= ق(ل(س))، فإنّ: هـَ(س)= قَ(ل(س))لَ(س).[٤]
قواعد اشتقاق الدوال المثلثية
فيما يأتي مشتقة الدوال المثلثية أو الاقترانات الدائرية:[٥]
- قَ(جا هـ)= جتا هـ
- قَ(جتا هـ)= -جا هـ
- قَ(ظا هـ)= (قا هـ)^2
- قَ(ظتا هـ)= -(قتا هـ)^2
- قَ(قا هـ)= (قا هـ )(ظا هـ)
- قَ(قتا هـ)= - (قتا هـ)(ظتا هـ)
حيث إنّ:
- جا: جيب الزاوية.
- جتا: جيب تمام الزاوية.
- ظا: ظل الزاوية.
- ظتا: ظل تمام الزاوية.
- قا: قاطع الزاوية.
- قتا: قاطع تمام الزاوية.
قاعدة القوة الكسرية
إذا كانت القوة المرفوعة للاقتران ق(س) قوة كسرية، فإن قاعدة حساب المشتقة كالآتي:[٦]
- ق(س)= س^ (ك/ن)
- فإن: قَ(س)= (ك/ن) س^ (ك/ن)-1
أمثلة على كيفية استخدام قواعد المشتقات
فيما يأتي بعض الأمثلة التي توضح كيفية استخدام قواعد الاشتقاق السابقة، ويشار إلى أن الكثير من الأمثلة تحتاج لاستخدام عدة قواعد معًا، ولا يقتصر الأمر على قاعدة واحدة فقط في المثال الواحد:[٣]
المثال الأول: إذا كان ق(س)= 8، فما هي مشتقة الاقتران؟[٣]
حسب قاعدة اشتقاق العدد الثابت: قَ(س)= 0.
إذا كان ق(س)= 5س^3، فما هي مشتقة الاقتران؟[٧]
- حسب قاعدة مشتقة القوة وقاعدة العدد الثابت المضروب في الاقتران:
- قَ(س)= 5*(3س^2) = 15 س^2
إذا كان ق(س)= س^2 + س^3، فما هي مشتقة الاقتران؟[٧]
حسب قاعدة الجمع وقاعدة القوة: قَ(س)= 2س + 3س^2
- باستخدام قاعدة الجمع والطرح وقاعدة القوة نجد مشتقة كل حد من الحدود الثلاثة على حدة ونحافظ على إشارتي الجمع والطرح، فينتج أن:
- قَ(س)= (2*5س) + (3س^2) - (4*7 س^3)
- قَ(س)= 10 س + 3 س^2 - 28 س^3
إذا كان ق(س)= جاس جتاس، فما هي مشتقة الاقتران؟[٧]
- باستخدام قاعدة الضرب للمشتقات وقاعدة الدوال المثلثية لكل من جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية، ينتج أن:
- قَ(س)= [ مشتقة الأول × الثاني + الأول × مشتقة الثاني ]
- قَ(س)= [ جتاس × جتا س + جا س × -جا س ]
- قَ(س)= [ جتاس^2 - جا س^2 ]
إذا كان هـ(س)= س^2-1، وكان ل(س)= 3 -2س- س^2، الاقتران ق(س)= ل(س)/هـ(س)، فما هي مشتقة الاقتران ق(س)؟[٨]
- نجد مشتقة كل من الاقترانين هـ (س) و ل (س):
- هـ(س)= 2س
- ل(س)= -2-2س
- نطبق قاعدة اشتقاق القسمة:
- مشتقة اقترانين مقسومان على بعضهما البعض= (مشتقة البسط × المقام) – (مشتقة المقام× البسط)/ مربع المقام
- قَ(س)= (لَ(س) × هـ(س)) – (هـَ(س)× ل(س))/ (هـ(س))^2
- قَ(س)= (-2-2س × س^2-1) – (2س)× 3-2س-س^2)/ (س^2-1)^2
- بعد تجميع الحدود ينتج أن:
قَ(س)= (2س^2-4س+2)/ س/ (س^2-1)^2
- نخرج العدد 2 من البسط كعامل مشترك، فينتج أن:
قَ(س)= 2(س^2-2س+1)/ (س^2-1)^2
قَ(س)= 2(س^2-1)/(س^2-1)^2
- بحذف (س^2-1) من البسط والمقام، ينتج أن:
قَ(س)= 2/(س^2-1)
المراجع
- ↑ "Derivative", britannica, Retrieved 29/6/2021. Edited.
- ↑ "Formal definition of the derivative as a limit", khanacademy, Retrieved 29/6/2021. Edited.
- ^ أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش "3.3: Differentiation Rules", math.libretexts, Retrieved 29/6/2021. Edited.
- ↑ "List of Derivative Rules", math.ucdavis, Retrieved 29/6/2021. Edited.
- ↑ "Section 3-5 : Derivatives Of Trig Functions", tutorial.math.lamar, Retrieved 29/6/2021. Edited.
- ↑ "Fractional Exponents", web.mit, Retrieved 29/6/2021. Edited.
- ^ أ ب ت ث "Derivative Rules", mathsisfun, Retrieved 29/6/2021. Edited.
- ↑ "How do I find the derivative of a fraction?", socratic, Retrieved 29/6/2021. Edited.
علم الاشتقاق هو علم واسع جدًا وقواعده عديدة ويشمل العديد من الأمثلة والتطبيقات التي يطول ذكرها، والتي تتفاوت في مدى صعوبة حلها وفهما، إلا أن اتباع القواعد والحل بتركيزٍ ودقة يضمن للطالب الحصول على النتيجة السليمة.