مظرة حول ظل ضعف الزاوية
نستخدم عادة قوانين ضعف الزاوية لإيجاد قيم القيم المثلثية لضعف الزوايا باستخدام القيم المثلثية للزوايا الأصلية قبل مضاعفتها،[١] ويُعطى قانون ظل ضعف الزاوية على الصورة الآتية:
- ظا (2س) = 2 ظاس/ (1 - ظا2س)
أمثلة على حساب ظل ضعف الزاوية السؤال: جد ظل الزاوية 22.5 ، باستخدام قانون ظل ضعف الزاوية. [٣]
الحل:
- من المعطيات: س = 22.5، ظا 2س = ظا (2 × 22.5) = ظا45 = 1.
- ظا (2س) = 2 ظاس / (1 - ظا2س)
- تعويض القيم في قانون ظل ضعف الزاوية
- ظا (2×22.5) = 2 ظا (22.5) / - ظا2 (22.5)
- ظا (45) = 2 ظا (22.5) / - ظا2(22.5)
- 1 = 2 ظا (22.5) / - ظا2(22.5)، نفرض أنّ:
- ص = ظا (22.5)، ومنه:
- 1 = 2ص / (1 - ص2)، وبالضرب التبادلي ينتج أنّ:
- 1 - ص2 = 2 ص، وبترتيب حدود المعادلة ينتج أنّ:
- ص2 + 2ص - 1 = 0، وبحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام ينتج أنّ:
- ص = (-2 + 2√2)/2 ، ص = (-2 - 2√2)/2، وباختصار القيم ينتج أنّ:
- ص = 2√ - 1 أو ص = -1 - 2√، ولأنّ ص = ظا (22.5)، والزاوية 22.5 تقع في الربع الأول، وظل الزاوية في الربع الأول موجب دائماً، ينتج أنّ:
- ظا (22.5) = 2√ - 1.
السؤال: الحل:
- نبسّط المقدار باستخدام قانون ظل ضعف الزاوية:
- ظا (2س) + ظا (س) = 0.
- 2 ظاس/ (1 - ظا2 س) + ظاس = 0.
- 2 ظاس + [ ظاس (1 - ظا2 س)] = 0، ضرب المعادلة كاملة بـ (1 - ظا2 س).
- 2 ظا س+ ظاس - ظا3 س = 0.
- 3 ظاس - ظا3س = 0.
- ظاس (3 - ظا2س) = 0، ومنه ينتج أنّ:
- ظا س = 0 أو 3 - ظا2س = 0
- ظاس = 0، وبذلك فإنّ: س = 0 ، π.
- 3 - ظا2س = 0.
- - ظا2 س = -3.
- ظا2 س = 3.
- ظا س = 3√، 3√-، وبذلك فإنّ:
- س = (3/π)، (2π/3)، (4π/3)، (5π/3)
جد ظل الزاوية 22.5 ، باستخدام قانون ظل ضعف الزاوية. [٣]
- من المعطيات: س = 22.5، ظا 2س = ظا (2 × 22.5) = ظا45 = 1.
- ظا (2س) = 2 ظاس / (1 - ظا2س)
- تعويض القيم في قانون ظل ضعف الزاوية
- ظا (2×22.5) = 2 ظا (22.5) / - ظا2 (22.5)
- ظا (45) = 2 ظا (22.5) / - ظا2(22.5)
- 1 = 2 ظا (22.5) / - ظا2(22.5)، نفرض أنّ:
- ص = ظا (22.5)، ومنه:
- 1 = 2ص / (1 - ص2)، وبالضرب التبادلي ينتج أنّ:
- 1 - ص2 = 2 ص، وبترتيب حدود المعادلة ينتج أنّ:
- ص2 + 2ص - 1 = 0، وبحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام ينتج أنّ:
- ص = (-2 + 2√2)/2 ، ص = (-2 - 2√2)/2، وباختصار القيم ينتج أنّ:
- ص = 2√ - 1 أو ص = -1 - 2√، ولأنّ ص = ظا (22.5)، والزاوية 22.5 تقع في الربع الأول، وظل الزاوية في الربع الأول موجب دائماً، ينتج أنّ:
- ظا (22.5) = 2√ - 1.
- نبسّط المقدار باستخدام قانون ظل ضعف الزاوية:
- ظا (2س) + ظا (س) = 0.
- 2 ظاس/ (1 - ظا2 س) + ظاس = 0.
- 2 ظاس + [ ظاس (1 - ظا2 س)] = 0، ضرب المعادلة كاملة بـ (1 - ظا2 س).
- 2 ظا س+ ظاس - ظا3 س = 0.
- 3 ظاس - ظا3س = 0.
- ظاس (3 - ظا2س) = 0، ومنه ينتج أنّ:
- ظا س = 0 أو 3 - ظا2س = 0
- ظاس = 0، وبذلك فإنّ: س = 0 ، π.
- 3 - ظا2س = 0.
- - ظا2 س = -3.
- ظا2 س = 3.
- ظا س = 3√، 3√-، وبذلك فإنّ:
- س = (3/π)، (2π/3)، (4π/3)، (5π/3)
المراجع
- ↑ "Double Angle Formulas", cuemath.
- ↑ "Tan 2x Formula", cuemath.
- ↑ " Find tan 22.5 degree using the Half-angle Formula?", cuemath.
- ↑ "Solving Trig Equations using Double and Half Angle Formula", ck12.