ما هو ظل ضعف الزاوية؟

مظرة حول ظل ضعف الزاوية

نستخدم عادة قوانين ضعف الزاوية لإيجاد قيم القيم المثلثية لضعف الزوايا باستخدام القيم المثلثية للزوايا الأصلية قبل مضاعفتها،^[١] ويُعطى قانون ظل ضعف الزاوية على الصورة الآتية:

• ظا (2س) = 2 ظاس/ (1 - ظا²س)

أمثلة على حساب ظل ضعف الزاوية



السؤال:

• جد قيمة ظل ضعف الزاوية إذا علمت أن ظاس = 4/3.^[٢]

إظهار الحل

الحل:

• باستخدام قانون ظل ضعف الزاوية فإن:
• ظا (2س) = 2 ظاس / (1 - ظا²س)
• = 2 × (4/3) / - (4/3)2
• = (8/3) / - (16/9)
• = (8/3) / (-7/9)
• = -24/7، أي أنّ:
• ظا (2س) = -24/7

إخفاء الحل





السؤال:

جد ظل الزاوية 22.5 ، باستخدام قانون ظل ضعف الزاوية. ^[٣]

إظهار الحل

الحل:

• من المعطيات: س = 22.5، ظا 2س = ظا (2 × 22.5) = ظا45 = 1.
• ظا (2س) = 2 ظاس / (1 - ظا²س)
• تعويض القيم في قانون ظل ضعف الزاوية
• ظا (2×22.5) = 2 ظا (22.5) / - ظا² (22.5)
• ظا (45) = 2 ظا (22.5) / - ظا²(22.5)
• 1 = 2 ظا (22.5) / - ظا²(22.5)، نفرض أنّ:
• ص = ظا (22.5)، ومنه:
• 1 = 2ص / (1 - ص²)، وبالضرب التبادلي ينتج أنّ:
• 1 - ص² = 2 ص، وبترتيب حدود المعادلة ينتج أنّ:
• ص² + 2ص - 1 = 0، وبحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام ينتج أنّ:
• ص = (-2 + 2√2)/2 ، ص = (-2 - 2√2)/2، وباختصار القيم ينتج أنّ:
• ص = 2√ - 1 أو ص = -1 - 2√، ولأنّ ص = ظا (22.5)، والزاوية 22.5 تقع في الربع الأول، وظل الزاوية في الربع الأول موجب دائماً، ينتج أنّ:
• ظا (22.5) = 2√ - 1.

إخفاء الحل





السؤال:

• جد قيمة الزاوية س فيما يلي: ظا (2س) + ظا(س) = 0، 0 ≤ س< 2π.^[٤]

إظهار الحل

الحل:

• نبسّط المقدار باستخدام قانون ظل ضعف الزاوية:
• ظا (2س) + ظا (س) = 0.
• 2 ظاس/ (1 - ظا² س) + ظاس = 0.
• 2 ظاس + [ ظاس (1 - ظا² س)] = 0، ضرب المعادلة كاملة بـ (1 - ظا² س).
• 2 ظا س+ ظاس - ظا³ س = 0.
• 3 ظاس - ظا³س = 0.
• ظاس (3 - ظا²س) = 0، ومنه ينتج أنّ:
• ظا س = 0 أو 3 - ظا²س = 0
• ظاس = 0، وبذلك فإنّ: س = 0 ، π.
• 3 - ظا²س = 0.
• - ظا² س = -3.
• ظا² س = 3.
• ظا س = 3√، 3√-، وبذلك فإنّ:
• س = (3/π)، (2π/3)، (4π/3)، (5π/3)

إخفاء الحل