نظرة حول الجذر في الرياضيات

يمكن تعريف الجذر الذي درجته ن للقيمة س بأنه عدد آخر إذا ضربته بنفسه لعدد من المرات هو ن فإن النتيجة هي س؛ فعلى سبيل المثال: جذر الدرجة الثالثة (التكعيبي) لـ 64 هو 4؛ إذ: ن = 3، س = 64، قيمة الجذر × قيمة الجذر × قيمة الجذر = س؛ أي: 4 × 4 × 4 = 64، وعادة يُسمّى الجذر من الدرجة الثانية بالجذر التربيعي (ويرمز له بالرمز ب√ دون وضع درجته، أما الجذر من الدرجة الثالثة فهو يُعرف بالجذر التكعيبي،[١]أما عن الصيغة العامة للجذر فهي كالآتي:[٢]





  • حيث:[٢]
  • ن > 1 عدد صحيح موجب ويمثل درجة الجذر (Index)
  • √ هو رمز الجذر (Root)
  • س هو العدد الحقيقي المراد إيجاد جذره (radicand).


  • مثال: ما هي قيمة الجذر الثالث لـ 27؟
  • الحل: (27)√3 = 3؛ لأن 3×3×3 = 27.


كتابة الجذر بالطريقة الأسية

يمكن كتابة الجذر على شكل أس عبر اتباع الآتي:

إذا كان هناك جذر درجته (ن)، والعدد المطلوب إيجاد جذره هو (س)، فإن الصيغة الرياضية الأسية لهذا الجذر هي:[٣]


  • (س)√ن = س1\ن


الأعداد التي يكون لها جذران

تحصل هذه الحالة عندما تكون درجة الجذر زوجية مثل: 2 ،4، 6 ، 8... إلخ، وذلك لأن ضرب القيم السالبة في السالبة تعطي قيمة موجبة، ولهذا يمكن للعد الموجب أن يكون له جذران أحدهما موجب، والآخر سالب.[٤]


  • مثال: جد (9)√؟[١]
  • الحل:
  • (9)√ = 3 أو -3
  • لأن -3 ×-3 =9، أو 3 ×3 = 9.


جذور الأعداد السالبة

إن الجذور للأعداد السالبة يختلف التعامل معها حسب درجة الجذر حسب الآتي:[٥]


  • جذور الأعداد السالبة عندما تكون درجتها فردية: تكون سالبة؛ لو أردنا حساب قيمة الجذر التكعيبي لـ -125 فإن الناتج يكون -5، لأن -5 × -5 × -5 = -125، وكذلك الحال بالنسبة لـ: (-100000)√5 = -10.


  • جذور الأعداد السالبة عندما تكون درجتها زوجية: وفق ما هو معلوم إنّ ضرب عدد سالب في عدد سالب يعطي نتيجة موجبة، وهنا تكمن المشكلة، فجذر الأعداد السالبة ذو الدرجة الزوجية، لا توجد له جذور حقيقة، ولهذا السبب لجأ علماء الرياضيات إلى مصطلح الأرقام الخيالية (imaginary number)؛ إذ يتم تعريف الرقم الخيالي بأنه الجذر التربعي ل -1 ويساوي i؛ أي أنّ: (-1)√ = i.[٥]


  • مثال : جد (-25)√؟[٤]
  • الحل : (-25)√ = (25)√ × (-1)√ = 5i؛ أي أنّ الجذر التربيعي - 25 هو الجذر التربيعي +25 مضروباً في الجذر التربيعي لسالب واحد.


قاعدة الضرب والقسمة تحت الجذر

عند ضرب الأعداد الجذرية أو قسمتها يمكن توزيع الجذر على الأعداد كما في الآتي:[٢]

  • (س × ص)√ن = (س)√ن × (ص)√ن
  • (س ÷ ص)√ن = (س)√ن ÷ (ص)√ن


  • مثال: جد (32)√؟ [٢]
  • الحل:
  • (32)√ = (16)√ × (2)√ = 4 × (2)√.



المراجع

  1. ^ أ ب "Root", Math Open Reference, Retrieved 8/9/2021.
  2. ^ أ ب ت ث "Lesson Explainer: Simplifying Radicals", nagwa, Retrieved 9/9/2021.
  3. ↑ "n th Roots", varsity tutors, Retrieved 9/9/2021.
  4. ^ أ ب "Root (of a number)", Math Open Reference, Retrieved 9/9/2021.
  5. ^ أ ب "Negative Value Under the Square Root Radical", mathbits notebook, Retrieved 9/9/2021.