مظرة حول ظل ضعف الزاوية

نستخدم عادة قوانين ضعف الزاوية لإيجاد قيم القيم المثلثية لضعف الزوايا باستخدام القيم المثلثية للزوايا الأصلية قبل مضاعفتها،[١] ويُعطى قانون ظل ضعف الزاوية على الصورة الآتية:

  • ظا (2س) = 2 ظاس/ (1 - ظا2س)


أمثلة على حساب ظل ضعف الزاوية

السؤال:
  • جد قيمة ظل ضعف الزاوية إذا علمت أن ظاس = 4/3.[٢]
الحل:
  • باستخدام قانون ظل ضعف الزاوية فإن:
  • ظا (2س) = 2 ظاس / (1 - ظا2س)
  • = 2 × (4/3) / - (4/3)2
  • = (8/3) / - (16/9)
  • = (8/3) / (-7/9)
  • = -24/7، أي أنّ:
  • ظا (2س) = -24/7




السؤال:

جد ظل الزاوية 22.5 ، باستخدام قانون ظل ضعف الزاوية. [٣]


الحل:
  • من المعطيات: س = 22.5، ظا 2س = ظا (2 × 22.5) = ظا45 = 1.
  • ظا (2س) = 2 ظاس / (1 - ظا2س)
  • تعويض القيم في قانون ظل ضعف الزاوية
  • ظا (2×22.5) = 2 ظا (22.5) / - ظا2 (22.5)
  • ظا (45) = 2 ظا (22.5) / - ظا2(22.5)
  • 1 = 2 ظا (22.5) / - ظا2(22.5)، نفرض أنّ:
  • ص = ظا (22.5)، ومنه:
  • 1 = 2ص / (1 - ص2)، وبالضرب التبادلي ينتج أنّ:
  • 1 - ص2 = 2 ص، وبترتيب حدود المعادلة ينتج أنّ:
  • ص2 + 2ص - 1 = 0، وبحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام ينتج أنّ:
  • ص = (-2 + 2√2)/2 ، ص = (-2 - 2√2)/2، وباختصار القيم ينتج أنّ:
  • ص = 2√ - 1 أو ص = -1 - 2√، ولأنّ ص = ظا (22.5)، والزاوية 22.5 تقع في الربع الأول، وظل الزاوية في الربع الأول موجب دائماً، ينتج أنّ:
  • ظا (22.5) = 2√ - 1.




السؤال:


  • جد قيمة الزاوية س فيما يلي: ظا (2س) + ظا(س) = 0، 0 ≤ س< 2π.[٤]


الحل:
  • نبسّط المقدار باستخدام قانون ظل ضعف الزاوية:
  • ظا (2س) + ظا (س) = 0.
  • 2 ظاس/ (1 - ظا2 س) + ظاس = 0.
  • 2 ظاس + [ ظاس (1 - ظا2 س)] = 0، ضرب المعادلة كاملة بـ (1 - ظا2 س).
  • 2 ظا س+ ظاس - ظا3 س = 0.
  • 3 ظاس - ظا3س = 0.
  • ظاس (3 - ظا2س) = 0، ومنه ينتج أنّ:
  • ظا س = 0 أو 3 - ظا2س = 0
  • ظاس = 0، وبذلك فإنّ: س = 0 ، π.
  • 3 - ظا2س = 0.
  • - ظا2 س = -3.
  • ظا2 س = 3.
  • ظا س = 3√، 3√-، وبذلك فإنّ:
  • س = (3/π)، (2π/3)، (4π/3)، (5π/3)




المراجع

  1. "Double Angle Formulas", cuemath.
  2. "Tan 2x Formula", cuemath.
  3. " Find tan 22.5 degree using the Half-angle Formula?", cuemath.
  4. "Solving Trig Equations using Double and Half Angle Formula", ck12.