قاعدة معادلة المماس: شرح تفصيلي

كيفية إيجاد قاعدة معادلة المماس

يمكن إيجاد معادلة المماس لمنحنى ما عند نقطة محددة عبر اتباع الخطوات الآتية:^[١][٢]

• تحديد المنحنى ومعادلة المنحنى الذي ترغب في إيجاد معادلة المماس له، ونقطة التماس؛ فمثلاً لنفترض أن معادلة المنحنى هي:
• y = x2 + 3x -1، وأن نقطة التماس هي: (3, 1).

• حساب المشتقة الأولى لمعادلة المنحنى عبر اشتقاقها بالنسبة لـ x لنحصل على المشتقة الآتية:
• yَ = 2x + 3

• تعويض نقطة التماس وهي النقطة التي يمس فيها المماس المنحنى في مشتقة معادلة المنحنى، للحصول على قيمة ميل المماس، وفي المعادلة السابقة ينتج أن:
• fَ(1) = ميل المماس = 2x + 3
• ميل المماس = 2×1 + 3 = 5.

• استخدام الشكل العام لمعادلة المستقيم والذي يكون على شكل: y - y0 = m(x - x0)؛ حيث:
• m هو ميل المستقيم، والنقطة: (x0, y0) هي نقطة تماس المماس مع المنحنى، وتعويض القيم فيها، لينتج أنّ:
• y - y0 = m(x - x0)
• y -3 = 5(x - 1)
• y -3 = 5x - 5
• y = 5x - 2، وهي معادلة المماس للمنحنى: y = x2 + 3x -1، عند النقطة (3, 1).

كيفية معرفة الميل من خلال معادلة المماس

يمكن تعريف المماس (بالإنجليزية: tangent) بأنه الخط الذي يلامس المنحنى عند نقطة معينة، وتسمى النقطة التي يلتقي فيها المنحنى والتماس بنقطة التماس، وعادة ما تُعطى الصيغة العامة لمعادلة المماس عل الشكل الآتي:

y = mx + b ، والذي فيه يعبر m عن ميل المماس، وb هو نقطة تقاطع المماس مع محور الصادات؛ فمثلاً إذا كانت معادلة المماس هي: y = 6x + 1، فإنّ ميل المماس هو 6.^[٣]

أمثلة على إيجاد قاعدة معادلة المماس

المثال الأول: جد معادلة المماس للمنحنى: y = 5x3 + 2x2 - 3x- 6 عند نقطة التماس: (2- , 1).^[٤]

الحل:

• حساب المشتقة الأولى لمعادلة المنحنى عبر اشتقاقها بالنسبة لـ x لنحصل على المشتقة الآتية:
• yَ = 15x2 + 4x - 3.

• تعويض نقطة التماس وهي النقطة التي يمس فيها المماس المنحنى في مشتقة معادلة المنحنى، للحصول على قيمة ميل المماس، وفي المعادلة السابقة ينتج أنّ:
• ميل المماس = fَ(1) = 15× 1×1 + 4×1 - 3
• ميل المماس = 16

• استخدام الشكل العام لمعادلة المستقيم والذي يكون على شكل: y - y0 = m(x - x0)، وتعويض القيم فيها، لينتج أنّ:
• y - y0 = m(x - x0)
• y +2 = 16(x - 1)
• y +2 = 16x - 16
• y = 16x - 18، وهي معادلة المماس للمنحنى: y = 5x3 + 2x2 - 3x- 6 عند نقطة التماس: (2- , 1).

• المثال الثاني: جد معادلة المماس للمنحنى: f(x) = sin (x) عند نقطة التماس: (2/2√, 4/π).^[٥]
• الحل:
• حساب المشتقة الأولى لمعادلة المنحنى عبر اشتقاقها بالنسبة لـ x لنحصل على المشتقة الآتية:
• yَ = cos (x).

• تعويض نقطة التماس وهي النقطة التي يمس فيها المماس المنحنى في مشتقة معادلة المنحنى، للحصول على قيمة ميل المماس، وفي المعادلة السابقة ينتج أنّ:
• ميل المماس = 2/2√ = fَ(π/4) = cos (π/4)

• استخدام الشكل العام لمعادلة المستقيم والذي يكون على شكل: y - y0 = m(x - x0)، وتعويض القيم فيها، لينتج أنّ:
• y - y0 = m(x - x0)
• y - √2/2 = √2/2 (x - π/4)
• 2/2√ + y = √2/2 x - √2/2 * π/4
• x-π/4 +1 ) * √2/2 = y)، وهي معادلة المماس للمنحنى: y = sin (x) عند نقطة التماس: (2/2√, 4/π).