نظرة عامة حول القاسم المشترك الأكبر
يمكن تعريف القاسم المشترك الأكبر (بالإنجليزية: The greatest common divisor-GCD) أو العامل المشترك الأكبر (بالإنجليزية: The greatest common factor) لعددين أو مجموعة من الأعداد بأنه أكبر عدد يمكن للعددين معاً أو مجموعة الأعداد كلها القسمة عليه دون وجود باقٍ؛ فعلى سبيل المثال العامل المشترك الأكبر بين العددين: 20، 15 هو 5؛ لأن العدد 5 هو أكبر عدد يمكن لكل من العددين 20 و 15 معاً القسمة عليه دون وجود باقٍ.[١]
يستخدم القاسم المشترك الأكبر في مجموعة متنوعة من التطبيقات الرياضية مثل الحسابات النمطية، وخوارزميات التشفير، وحتى تبسيط الكسور.[١]
كيفية حساب القاسم المشترك الأكبر
يمكنك حساب القاسم المشترك الأكبر باستخدام مجموعة من الطرق، وهي:
التحليل إلى العوامل الأولية
تتمثل طريقة التحليل إلى العوامل الأولية (بالإنجليزية: Prime Factorization) بكتابة كل عدد من الأعداد على شكل حاصل ضرب لعوامله الأولية، ثم العثور على الأعداد (العوامل) المشتركة بين العددين، وحساب حاصل ضربها معاً، كما يلي:[٢]
- لحساب القاسم المشترك الأكبر بين العددين (24، 36) يجب أولاً تحليل كل من العددين إلى عواملهما الأولية:[٢]
- 24 = 2×3×2×2
- 36 = 2×3×2×3
تحليل العدد 24:
24 | 2 |
12 | 2 |
6 | 2 |
3 | 3 |
1 |
تحليل العدد 36:
36 | 2 |
18 | 2 |
9 | 3 |
3 | 3 |
1 |
- العوامل المشتركة بين العددين هي: 2،3،2
- حساب القاسم المشترك الأكبر عبر حساب حاصل ضرب هذه الأعداد: 2×3×2 = 12، وعليه القاسم المشترك الأكبر بينهما هو: 12.
العوامل المشتركة
تتمثل طريقة العوامل المشتركة بكتابة جميع عوامل كل عدد من الأعداد، وهي جميع الأعداد التي يمكن له القسمة عليه دون باقٍ، ثم العثور على العدد (العامل) الأكبر المشترك بين العددين أو مجموعة الأعداد، ليكون هو القاسم المشترك الأكبر كما يلي:[٢]
لحساب القاسم المشترك الأكبر بين العددين (24، 36) يجب أولاً كتابة جميع عوامل كل عدد من الأعداد:[٢]
- 24 : 1 2 3 4 6 8 12 24
- 36 : 1 2 3 4 6 9 12 18 36
- العوامل المشتركة بين العددين هي: 1 2 3 4 6 12
العامل الأكبر بين هذه العوامل المشتركة هو 12، وعليه القاسم المشترك الأكبر بينهما هو: 12.
أمثلة على حساب القاسم المشترك الأكبر
جد القاسم المشترك الأكبر بين العددين 96، 64.[٣]
كتابة جميع عوامل كل عدد من العددين:
96: 1 2 3 4 6 8 12 16 24 32 48 96
64: 1 2 4 8 16 32 64
العامل الأكبر المشترك بينهما هو 32، وعليه فهو القاسم المشترك الأكبر بين العددين.
جد القاسم المشترك الأكبر بين الأعداد 36، 54، 63.[٣]
كتابة جميع عوامل كل عدد من الأعداد:
36: 1 2 3 4 6 9 12 18 36
54: 1 2 3 6 9 18 27 54
63: 1 3 7 9 21 63
العامل الأكبر المشترك بينهما هو 9، وعليه فهو القاسم المشترك الأكبر بين العددين.
جد القاسم المشترك الأكبر بين الأعداد 4200، 3780، 3528.[١]
تحليل كل عدد من الأعداد إلى عوامله الأولية:
4200= 2×2×2×3×5×5×7
3780= 2×2×3×3×3×5×7
3528= 2×2×2×3×3×7×7
لحساب القاسم المشترك الأكبر يجب حساب حاصل ضرب جميع العوامل المشتركة بينهما، وهي: 2×2×3×7 = 84، وعليه القاسم المشترك الأكبر بينهما هو 84.
المراجع
- ^ أ ب ت Alexander Katz, Patrick Corn, "Greatest Common Divisor", brilliant.org, Retrieved 22-6-2021. Edited.
- ^ أ ب ت ث "GCF of 24 and 36", www.cuemath.com, Retrieved 11/12/2022. Edited.
- ^ أ ب "Examples of Greatest Common Factor", www.math-only-math.com, Retrieved 22-6-2021. Edited.
