مفهوم كثيرات الحدود

يمكن تعريف كثيرات الحدود (بالإنجليزية: Polynomials) بأنها تعبيرات تتضمن أرقامًا ومتغيرات مرفوعة إلى قوة (أس) صحيحة غير سالبة، ومن الأمثلة على كثيرات الحدود بمتغير واحد (س) ما يلي: 7س+4 س5+9 ، 2س، 32، ومن الأمثلة على كثيرات الحدود بمتغيرين (س، ص) معمليا يلي: س ص2 -11.[١]


تُعرف الحدود في كثيرات الحدود بأنها التعبيرات المفصولة بعلامة "+" أو "-" في كثير الحدود نفسه؛ مثل 7س، 5، كما يمكن تقسيم الحد إلى معاملات (الأرقام)، ومتغيرات، وأسس.[١]


مثال:

  • كثير الحدود (4 س5+7س +9) يوجد فيه ثلاثة حدود هي: 4 س5 ، 7س ، 9، والحد 4 س5 يتكون من معامل: 4 ، ومتغير: س ، وأس: 5 .


وبناء على ما سبق يمكن القول إن الصيغة العامة لكثيرات الحدود بمتغير واحد هي:[٢]

  • أن س ن + أن-1 س ن-1 +...+ أ2 س2 + أ1 س1 + أ0
  • حيث: ( أن ، أن-1 ، ... ، أ2 ، أ1 ، أ0 ) أعداد حقيقية ، (أن ≠0) ، ن عدد صحيح غير سالب.



السؤال:

ميّز كثيرات الحدود عن غيرها مع ذكر السبب.

الحل:

1-    س4 + س3- س+1 (كثير حدود).

2-    س4 + س-2+ س -1 (ليس كثير حدود لوجود حد متغيره مرفوع لقوة سالبة س-2).

3- 5س – 7 (كثير حدود).

4-    س√+ 10 (ليس كثير حدود لوجود حد متغيره مرفوع لعدد غير صحيح، س√= س1/2).





تحديد درجة كثيرات الحدود

تختلف طريقة تحديد درجة كثير الحدود حسب نوعه أي إذا كان بمتغير واحد أو أكثر، وفي هذا المقال سوف نستعرض كيفية تحديد درجة كثيرات الحدود لكثير حدود بمتغير واحد وكثير حدود بمتغيرين أو أكثر:[٣]


كثير حدود بمتغير واحد

درجة كثير الحدود بمتغير واحد هي الأس الأكبر في كثير الحدود هذا.[٣]


مثال:

حدد درجة كل كثير حدود من كثيرات الحدود الآتية:[٣]

  • س4 + س3- س+1: هو كثير حدود من الدرجة الرابعة لأن أعلى قوة (أس) فيه تساوي 4.
  • 4س6 + س3+4: هو كثير حدود من الدرجة السادسة لأن أعلى قوة (أس) فيه تساوي 6.
  • 5س – 7 : هو كثير حدود من الدرجة الأولى لأن أعلى قوة (أس) فيه تساوي 1.
  • -8 : هو كثير حدود من الدرجة الصفرية (ثابت).


كثير حدود بمتغيرين

 درجة كثير الحدود بمتغيرين هي المجموع الأعلى لقوى المتغيرين (س، ص) في كل حد على حدى، وذلك كما في المثال الآتي:[٣]


س2 ص - 6 س3 ص12 +10 س2 – 7 ص +1

مجموع قوى كل حد: 3 ،      15    ، 2     ،   1   ، 0

درجة كثير الحدود= 15
س4 ص2 - س3 ص3 – س ص + س4

مجموع قوى كل حد: 6 ،     6    ، 2    ،   4

درجة كثير الحدود= 6



العمليات الحسابية على كثيرات الحدود

يمكن إجراء العمليات الحسابية على كثيرات الحدود وذلك كالآتي:


الجمع والطرح

لجمع أو طرح كثيرات الحدود، علينا أولاً تجميع الحدود المتشابهة معاً (وهي التي لها نفس المتغيرات، ومرفوعة لنفس القوة)، ثم نجري عملية الجمع أو الطرح على معاملات الحدود المتشابهة، وذلك كما في الأمثلة الآتية:[٢]


السؤال:

جد حاصل جمع كثيري الحدود: (3س4 -2 س2 + س -1) + (7س5 +2 س2 ).[٢]

الحل:

لايجاد حاصل جمع الحدود عليناً أولاً تحديد الحدود المتشابهة ثم جمع معاملاتها:

=(3س4 -2 س2 + س -1) + (7س5 +2 س2 )

=7س5 +3س4 + -2 س2 +2 س2 + س -1

=7س5 +3س4 + 0 + س -1

=7س5 +3س4 + س -1





السؤال:

جد حاصل طرح (5س3 - 9س2 + س -3) من (س2 + س +1).[٣]

الحل:
  • عند إيجاد حاصل طرح الحدود فإن علينا في البداية توزيع الطرح على القوس الثاني (أي كثير الحدود المطلوب طرحه من كثير الحدود الأول)؛ بمعنى أن علينا ضرب كل حد من حدود كثير الحدود الثاني بالعدد -1، ثم تجميع الحدود المتشابهة، وجمع معاملاتها، وعدم إجراء أي تغيير على الحدود غير المتشابهة:
  • ضرب كل حد من حدود كثير الحدود الثاني بالعدد -1: -(5س3 - 9س2 + س -3)= -5س3 + 9س2 - س +3
  • كتابة المسألة على شكل عملية جمع: (س2 + س +1) + (-5س3 + 9س2 - س +3)
  • تجميع كثيرات الحدود المتشابهة معاً: -5س3 + (9س2 +س2)+ (س - س) + (3+1).
  • -5س3 + 10س2 +0+4 = -5س3 + 10س2 +4 .




ضرب كثيرات الحدود

لايجاد حاصل ضرب كثيري حدود علينا أولاً ضرب كل حد من كثير الحدود الأول في كل حد من كثير الحدود الثاني، ثم تجميع الحدود المتشابهة معاً.[٢]


السؤال:

جد حاصل ضرب (3س3 - 2س2) في (- س4 +2 س3 -3 س2).[٢]

الحل:
  • =(3س3 - 2س2)×(- س4 +2 س3 -3 س2)
  • =3س3×( - س4 +2 س3 -3 س2) - 2س2×(- س4 +2 س3 -3 س2)
  • =-3س7+6 س6 -9 س5 +2 س6 -4 س5 +6 س4
  • =-3س7+ (6 س6 +2 س6)+(-9 س5 -4 س5)+ 6 س4
  • -3س7 +8 س6 -13 س5 + 6 س4

ش




المراجع

  1. ^ أ ب "Polynomials and Factoring", math.toronto, 13-7-2021, Retrieved 13-7-2021. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث ج "POLYNOMIALS", amsi, 13-7-2021, Retrieved 13-7-2021. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث ج "Section 1-4 : Polynomials", tutorial.math.lamar, 13-7-2021, Retrieved 13-7-2021. Edited.