قاعدة الاقتران التكعيبي

الاقتران التكعيبي (بالإنجليزية: Cubic equations) هو عبارة عن كثير الحدود من الدرجة الثالثة ويسمّى متعدد الحدود التكعيبي، والاقتران التكعيبي هو متعدد الحدود التكعيبي عند مساواته بالصفر؛ أي أنّ: ق (س)= 0، ويكون الشكل العام للاقتران التكعيبي على النحو الآتي:[١]

أ س3 + ب س2 + جـ س + د = 0؛ حيث:

  • س: قيمة متغيرة، أ ≠ صفر، (ب، جـ، د) تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.


عند حساب قيمة (س) في الاقتران التكعيبي، فتلك القيمة تسمى جذراً، ولجميع المعادلات التكعيبية إما جذر واحد، أو اثنان، أو ثلاثة جذور.


طرق إيجاد جذور الاقتران التكعيبي


الرسم البياني

يكون ذلك عن طريق تحديد نقاط تقاطع الاقتران التكعيبي مع المحور السيني كما في المثال الآتي، وجد معادلته:[٢]


السؤال:

جد جذور الاقتران التكعيبي إذا كان رسمه البياني كالآتي:[٢]

قاعدة الاقتران التكعيبي

الحل:
  • من خلال الرسم البياني نحدد تقاطع الاقتران مع المحور السيني، وعليه تكون جذور هذا الاقتران هي:
  • س = 1 ، - 2 ، - 4.
  • أما معادلته فيمكن الحصول عليها من خلال الجذور عبر كتابة الاقتران على شكل:
  • (س-1)(س+2)(س+4)، لينتج أنّ:
  • (س+س-2)(س+4) = س +4س +س +4س-2س-8 = س3 + 5 س2 + 2 س - 8 = 0





القسمة التركيبية

يتم تحليل المعادلة عن طريق إيجاد أحد الجذور وليكن (أ) بالتجربة والخطأ؛ أي بتعويض قيم مختلفة لـ س في المعادلة حتى تنتج لدينا القيمة صفر، ثم قسمة الاقتران على (س + أ) باستخدام القسمة التركيبية، ليكون الناتج اقتران تربيعي، ومن خلال تحليليه نجد الجذور المتبقية للاقتران التكعيبي.[٣]


السؤال:

جد جذور الاقتران التكعيبي: 2س3 + 3 س2 + 11 س - 6 = 0.[٣]

الحل:
  • لا يمكننا تحليل هذه المعادلة مباشرة، ولهذا علينا تعويض قيم مختلفة لـ (س) حتى نجد أحد الجذور كما يلي :
  • ق(1) = 2×(1)3 + 3× (1)2 + 11 ×(1) - 6 = 10 ≠ 0
  • ق(1-) = 2×(-1)3 + 3× (-1)2 + 11 ×(-1) - 6 = - 16 ≠ 0
  • ق(2) = 2×(2)3 + 3× (2)2 + 11 ×(2) - 6 = 0
  • إذن 2 هو عبارة عن أحد جذور الاقتران س = 2، وعليه سنقسم الاقتران التكعيبي على (س - 2) باستخدام القسمة التركيبية ليصبح الناتج كالآتي:
  • (س - 2 )(2×س2 + 7×س + 3) = 0.
  • تحليل الاقتران التربيعي الناتج كما يلي:
  • (س - 2 )(2س+1) (س+3) = 0.
  • إذن جذور الاقتران هي: س = 2، - 1\2، -3 .





الصيغة التكعيبية العامة

يمكن حل المعادلات التكعيبية باستخدام هذه الصيغة بكل بساطة عبر تعويض قيم: أ، ب، جـ، د فيها، وهي:[٤]


س = (ك + [ ك2 + (ر - ع2)3 ]√2 )√3 + (ك - [ ك2 + (ر - ع2)3 ]√2 )√3+ ع؛ حيث :

  • ع = - ب/(3×أ)
  • ك = ع3 + ([ب.جـ - 3.أ.د]/6.أ2)
  • ر = جـ/3أ



المراجع

  1. ↑ "Cubic equations", mathcentre, Retrieved 22/9/2021.
  2. ^ أ ب "Solving Cubic Equations – Methods & Examples", THE STORY OF MATHEMATICS, Retrieved 22/9/2021.
  3. ^ أ ب " Cubic Equation Formula", cuemath, Retrieved 22/9/2021.
  4. ↑ "How to Solve Cubic Equations", sciencing, Retrieved 23/9/2021.