نظرة حول حل المعادلة التربيعية

يمكن تعريف المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic equation) بأنّها تعبير جبري من الدرجة الثانية وتكون الصيغة القياسية لمعادلته هي: أس2 + ب س + ج = 0، حيث: (أ، ب) هي المعاملات، و(س) هو المتغير، و(ج) هو الحد المطلق أو الثابت، والشرط الأساسي للحصول على معادلة تربيعية هو أن يكون معامل س2 لا يساوي صفر (أ ≠ 0)، ولكتابة المعادلة بشكلها القياسي يتم كتابة الحد أ س2 أولاً متبوعاً، بالحد س، ثم كتابة الحد الثابت، وبشكل عام تتم عادة كتابة القيم الرقمية لـ أ و ب و ج على شكل قيم صحيحة غير كسرية أو عشرية.[١]


أما عن حل المعادلة التربيعية فيُعرف بأنه عملية ايجاد "حلول" للمعادلة بحيث تكون مساوية للصفر عند تعويض قيم الحلول مكان المتغير س، ويُطلق على هذه الحلول أيضاً اسم "الجذور" أو "الأصفار".[٢]


أشهر طرق حل المعادلات التربيعية

يتم الحصول على حلول المعادلة التربيعية بعدة طرق أهمها:[٢]


تحليل المعادلة التربيعية إلى العوامل

يمكن حل المعادلة التربيعية عن طريق تحليلها إلى عوامل تعطينا قيم س عند مساواتها بالصفر، وفيما يلي خطوات حل المعادلة التربيعية بالتحليل:[٣]

  1. تحويل المعادلة إلى الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية التي يكون فيها أحد أطراف المعادلة يساوي صفراً : أس2 + ب س + ج = 0.
  2. تحليل الطرف غير الصفري (أس2 + ب س + ج) إلى عوامله الخطية.
  3. مساواة كل عامل من العوامل الناتجة بالصفر وإيجاد قيمة س.


  • مثال: حل المعادلة الآتية: س2 - 3 س - 10 = 0 باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل.[٣]
  • نلاحظ أن المعادلة مكتوبة حسب الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية، وهي: س2 - 3 س - 10 = 0.
  • تحليل الطرف غير الصفري (س2 - 3 س - 10) إلى عوامله الخطية:

(س2 - 3 س - 10) = (س-5)(س+2) = 0.

  • مساواة كل عامل من العوامل الناتجة بالصفر وإيجاد قيمة س:
  • س-5 = 0، ومنها نحصل على قيمة س = 5.
  • س+2= 0، ومنها نحصل على قيمة س = -2.
  • قيم س التي تمثل حل المعادلة هي س= (5، -2).

استخدام إكمال المربع

يُستخدم إكمال المربع في حل المعادلة التربيعية، وفيما يلي خطوات حل المعادلة التربيعية بطريقة إكمال المربع:[٤]

  1. قسمة طرفي المعادلة على (أ) لنحصل على المعادلة: س2 + (ب/أ)س + (ج/أ) = 0.
  2. طرح (ج/أ) من طرفي المعادلة لتصبح المعادلة : س2 + (ب/أ)س = - (ج/أ).
  3. إضافة (ب/2أ)2 لطرفي المعادلة لنحصل على: س2 + (ب/أ)س + (ب/2أ)2 = - (ج/أ) + (ب/2أ)2.
  4. الطرف الأيمن للمعادلة س2 + (ب/أ)س + (ب/2أ)2 يمثل "ثلاثي حدود يشكل مربعاً كاملاً" ويمكن كتابته بصورة (س +(ب/2أ))2 ، والطرف الأيسر(-(ج/أ) +(ب/2أ)2) ناتجه يمثّل عدد.
  5. أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة الناتجة لنحصل على جذور المعادلة لتكوين عواملها.


  • مثال: حل المعادلة الآتية: 5س2 - 4 س - 2 = 0.[٥]
  • قسمة طرفي المعادلة على (5) لنحصل على س2 - (4/5) س - (2/5) = 0.
  • إضافة (2/5) لطرفي المعادلة لتصبح: س2 - (0.8) س = (0.4)
  • إضافة (ب/2أ)2 لطرفي المعادلة والتي قيمتها (-4/ 2×5)2 = 0.16 لنحصل على : س2 - (0.8) س + 0.16 = 0.4 + 0.16
  • الطرف الأيمن للمعادلة: س2 - (0.8) س + 0.16يمثل "ثلاثي حدود يشكل مربعاً كاملاً" ويمكن كتابته بصورة (س - 0.4)2 ، والطرف الأيسر مجموعه يساوي 0.56.
  • أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة لنحصل على: (س - 0.4)2 √ = 0.56√، ومنه: (س - 0.4) = 0.748±
  • حلول المعادلة هي:
  • الحل الأول: (س - 0.4) = +0.748، ومنه:
  • س = 1.148
  • الحل الثاني: (س - 0.4) = - 0.748
  • س = 0.348-


استخدام القانون العام للمعادلة التربيعية

يستخدم القانون العام للمعادلة التربيعية في حل المعادلة التربيعية، وفيما يلي صيغة هذا القانون:[٢]


  • س = 


يسمّى المقدار(ب2 - 4أج) في الصيغة السابقة بالمميز، لأنه يمكن أن يميز بين أنواع الإجابات الممكنة لتحليل المعادلة التربيعية والتي تكون كالآتي: [٢]


  • حلان حقيقيان نحصل عليهما عندما تكون قيمة (ب2 - 4أج) أكبر من صفر (موجبة).
  • حل حقيقي واحد (كلا الحلين متماثلين) ونحصل عليه عندما تكون قيمة (ب2 - 4أج) تساوي صفراً.
  • زوج من الحلول المعقدة نحصل عليه عندما تكون قيمة (ب2 - 4أج) أقل من صفر (سالبة).


  • مثال: جد حلول المعادلة التربيعية الآتية: 5 س2 + 6 س + 1 = 0 باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية. [٢]
  • تحديد قيمة كل من: أ= 5 ، ب= 6 ، ج= 1.
  • حساب المميز: ب2 - 4.أ.ج = (6)2 - (4×5×1) = 16 (قيمة المميز "موجبة"؛ أي أنها معادلة تربيعية لها حلان حقيقيان).
  • إيجاد حلول المعادلة باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية:
  • س =  ، ومنه:
  • س = (-6 + (16)√) ÷ (2×5) = -0.2.
  • س = (-6 - (16)√) ÷ (2×5) = -1.
  • الحلول هي: س = -0.2 ، س = -1.





المراجع

  1. ↑ "quadratic equations", cuemath, 18-8-2021, Retrieved 18-8-2021. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث ج "quadratic equation", mathsisfun, 18-8-2021, Retrieved 18-8-2021. Edited.
  3. ^ أ ب "solving quadratic equations using factoring", varsitytutors, 18-8-2021, Retrieved 18-8-2021. Edited.
  4. ↑ "factorization of quadratic equations", cuemath, 17-8-2021, Retrieved 17-8-2021. Edited.
  5. ↑ "completing square", mathsisfun.com, 17-8-2021, Retrieved 17-8-2021. Edited.