شرح قاعدة الاقتران التربيعي

الاقتران التربيعي (بالإنجليزية: Quadratic Equations) اسمه مشتق من كلمة "رباعي" بمعنى مربع (س2)، وكذلك يسمى الاقتران التربيعي اقتران من الدرجة الثانية لأن المتغير س يكون فيه مرفوعاً للقوة 2،[١] أما عن الصيغة العامة للاقتران التربيعي فهي:[٢]


  • ص = ق (س) = أ س2 + ب س+ ج = 0 ، حيث: أ، ب، ج أعداد حقيقية، أي لا تساوي صفر.


منحنى الاقتران التربيعي

يسمى المنحنى الناتج عن الرسم البياني للاقتران التربيعي بالقطع المكافئ وهو منحنى قد يكون مفتوحاً للأعلى أو للأسفل اعتماداً على إشارة معامل س2، بحيث يكون مفتوحاً للأعلى إذا كانت موجبة بينما يكون مفتوحاً للأسفل إذا كانتسالبة، وتتنوع المنحنيات الناتجة في العرض أو الانحدار حسب قاعدة الاقتران ولكن جميعها لها نفس الشكل الأساسي وهو حرف "U" بالإنجليزية.[٢]


يكون القطع المكافئ متماثلاً حول محور (خط) التماثل، ويتقاطع منحنى القطع المكافئ مع محور التماثل عند نقطة تسمى قمة القطع المكافئ،[٢] ويمكننا الحصول على معادلة محور (خط) التماثل من خلال المعادلة الآتية:[٣]


  • س = - ب/ 2أ.


لإيجاد إحداثيات نقطة قمة القطع المكافئ، فإن الإحداثي السيني يكون ناتج تعويض القيم من قاعدة الاقتران التربيعي في الصيغة الآتية س= (- ب/2 أ)، بينما يكون الإحداثي الصادي هو ناتج تعويض الإحداثي السيني في الاقتران (صورة الإحداثي السيني)، أي:[٣]


  • إحداثيات نقطة قمة القطع المكافئ: ( (- ب/ 2 أ)، ( ق(- ب/ 2 أ))


للحصول على القيمة التي يتقاطع عندها المنحنى مع محور الصادات فإن علينا تعويض قيمة س=0 في معادلة الاقتران التربيعي، وفي حال كانت المعادلة مكتوبة بالصورة القياسية: ص = أ س2 + ب س+ ج = 0 فيمكننا أخذ قيمة ج مباشرة على أنها قيمة التقاطع مع محور الصادات.[٣]


أما فيما يتعلق في القيم التي يتقاطع عندها المنحنى مع محور السينات فيمكننا الحصول عليها من خلال استخدام التحليل أو إكمال المربع.[٣]


أمثلة على قاعدة الاقتران التربيعي


السؤال:

حدّد أي من الاقترانات الآتية هو اقتران تربيعي، وحدّد قيمة كل من أ، ب، ج:[١]

  • 2س2 + 5س + 3 = 0.
  • س2 - 3س = 0.
  • 5س - 3 = 0.
  • 2(س2 - 2س) = 5.


الحل:
  • 2س2 + 5س + 3 = 0.
  • الحل: اقتران تربيعي وقيمة كل من أ=2، ب=5، ج=3.
  • س2 - 3س = 0.
  • الحل: اقتران تربيعي وقيمة كل من أ=1، ب=-3، ج=0.
  • 5س - 3 = 0.
  • الحل: ليس اقتراناً تربيعاً، لأن أ = 0 والمتغير س2 غير موجود .
  • 2(س2 - 2س) = 5.
  • الحل: إعادة ترتيب المعادلة للحصول على الصيغة القياسية للاقتران التربيعي بادخال العدد 2 للقوس ليصبح: 2 س2 - 4 س = 5، ثم طرح العدد 5 من طرفي المعادلة للحصول على العدد 0 على يسار المعادلة ليصبح شكلها النهائي: 2 س2 - 4 س - 5 = 0 وهي اقتران تربيعي تكون فيه قيمة، أ= 2، ب=-4، ج= -5.




السؤال:
  • جد إحداثيات نقطة قمة القطع المكافئ للمنحنى الذي قاعدته: ص = 3 س2 + 12 س - 12.[٣]


الحل:
  • نحدد كل من أ، ب: أ =3، ب=12.
  • نجد الإحداثي السيني من خلال التعويض بالمعادلة: س= (- ب/2 أ ) = (- 12 /2×3) = -2 .
  • نجد الإحداثي الصادي من خلال تعويض (-2) التي حصلنا عليها سابقاً في معادلة الاقتران: 3(-2)2 +12(-2) -12= -24.
  • إحداثيات نقطة قمة القطع المكافئ:(-2 ، -24).




السؤال:

جد معادلة محور التماثل للاقتران الذي معادلته: ص= 2 س2 + س -1.[٣]



الحل:
  • نحدد كل من قيمة أ، ب: أ = 2، ب=1.
  • معادلة محور التماثل: س = - ب / 2 أ = (-1 / 2*2) = - 1/4، أي س= -1/4.





المراجع

  1. ^ أ ب "Quadratic Equations", mathsisfun, 29-7-2021, Retrieved 29-7-2021. Edited.
  2. ^ أ ب ت "quadratic function", dl.uncw, 29-7-2021, Retrieved 29-7-2021. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث ج ح "Quadratic Function", varsitytutors, 29-7-2021, Retrieved 29-7-2021. Edited.