نظرة حول تحليل المعادلة التربيعية

يمكن تعريف تحليل المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Factoring Quadratics) بأنها طريقة للتعبير عن كثير الحدود على شكل ناتج لحاصل ضرب عوامله الخطية ببعضها البعض، وهي عملية تتيح لنا تبسيط المقادير التربيعية وإيجاد جذورها وحلولها، أما عن الصيغة العامة لكثير الحدود من الدرجة الثانية فهي: أس2 + بس + ج = 0، حيث: أ، ب، ج أعداد حقيقية؛ فمثلاً إذا كانت (س- ن)(س- ر) هي العوامل الخطية للمعادلة التربيعية: أس2 + بس + ج = 0، فإنّ كل من: ن، ر تمثل جذوراً (حلولاً) لهذه المعادلة.[١]


طرق تحليل المعادلة التربيعية

هناك طرق مختلفة يمكن استخدامها في تحليل المعادلات التربيعية وأهم هذه الطرق:


التحليل باستخراج العامل المشترك الأكبر

تستخدم هذه الطريقة اذا كان بين جميع الحدود عامل مشترك، كما في المثال الآتي:[٢]


  • مثال: حلّل المقدار الآتي: 6س2 + 3س:[٢]
  • الحل:
  • نلاحظ ممّا سبق أنّ المقدار (3 س) هو مقدار مشترك بين الحدين، وهو بذلك يمثل العامل المشترك الأكبر بينهما.
  • وعليه ناتج تحليل المقدار: 6س2 + 3س = (3 س)(2 س+1)؛ حيث يمكن ملاحظة أنه لا يمكن تبسيطه أكثر من ذلك.


التخمين

نستخدم هذه الطريقة عندما يكون كثير الحدود حسب الصيغة: س2 + بس + ج ولا يوجد عامل مشترك بين حدوده، وهي تتم عن طريق إيجاد عددين حاصل ضربهما يساوي ج، وحاصل جمعهما يساوي ب، حيث يمثل هذان العددان جذور أو (أصفار) المعادلة التربيعية.[٢]


  • مثال: حلّل المقدار الآتي: س2 + 7س + 12: [٢]
  • الحل:
  • ج = 12، ب=7 .
  • العددان اللذان حاصل ضربهما هو 12، وحاصل جمعهما هو 7 هما: 3، 4.
  • إذن ناتج تحليل المقدار: س2 + 7س + 12 = (س+3)(س+4)


التجميع

نستخدم هذه الطريقة عندما يكون كثير الحدود حسب الصيغة: أس2 + بس + ج، ولا يوجد عامل مشترك بين حدوده، ولكن يمكن الحصول على عامل مشترك عند تجميع الحدود عبر العثور على عددين حاصل ضربهما يساوي أ×ج، وحاصل جمعهما يساوي ب، وذلك كما يلي:[٢]


  • مثال: حلّل المقدار الآتي: 2س2 + 7س + 3:[٢]
  • الحل:
  • بالنظر إلى هذا المقدار نلاحظ أنه لا يوجد عامل مشترك بين حدوده، ولكن يمكننا الحصول على عامل مشترك عند تبسيط حدوده كما يلي:
  • العثور على عددين حاصل ضربهما يساوي أ×ج = 2×3 = 6، وحاصل جمعهما يساوي ب = 7، وهما: 6، 1، وكتابة الحد الأوسط على شكل ناتج جمعهما معاً كما يلي:
  • 2س2 + 7س + 3 = 2س2 +( 6 س + 1 س)+ 3؛ حيث:7 س = 6 س+1 س.
  • 2س2 + 6 س + 1 س+ 3 = (2س2 + 6 س) + (1 س+ 3)؛ أي تجميع الحدود التي بينها عامل مشترك في قوس واحد.
  • (2س2 + 6 س) + (1 س+ 3) = 2 س (س+3) + 1(س+3).
  • إخراج 2 س كعامل مشترك بين القوسين.
  • 2 س (س+3) + 1(س+3) = (س+3) (2 س +1) .
  • إخراج العامل (س+3) كعامل مشترك، لينتج أنّ:
  • 2س2 + 7س + 3 = (س+3) (2 س+1).


تحليل المربع الكامل

نستخدم هذه الطريقة إذا كان كثير الحدود حسب الصيغة: أس2 + بس + ج، وكان فيه الحدان الأول والأخير مربعين كاملين، والحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الجذر التربيعي لكل منهما: ب = 2×(أ)√×(ج)√، ويكون ناتج التحليل في هذه الطريقة هو: (الحد الأول√ + الحد الأخير√)2.[٢]


  • مثال: حلّل المقدار الآتي س2 + 10س + 25 :[٢]
  • الحل:
  • نلاحظ في هذا المثال أن الحد الأول (س2)والحد الأخير (25) وهي مربعات كاملة، وأن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الجذور التربيعية للحدين الأول والأخير؛ أي: 10 = (2×(س2×25)√)= 2×س×5 = 10س.
  • س2 + 10س + 25 = (الحد الأول√ + الحد الأخير√)2=(س2√ + 25√)2 =(س+5)2.


تحليل الفرق بين مربعين

نستخدم هذه الطريقة إذا كان التعبير الجبري يمثل فرقاً بين مربعين( أ2 - ب2)، ويكون ناتج التحليل لهذا المقدار هو: (أ - ب)(أ + ب).[٢]


  • مثال: حلّل المقدار الآتي: س2 - 9:[٢]
  • يمثل المقدار (س2 - 9) فرقاّ بين مربعين، لذلك سيكون ناتج التحليل حسب القاعدة (أ2 - ب2) = (أ - ب)(أ + ب) هو:
  • (س2 - 9) = (س - 3)(س + 3).


إكمال المربع

خطوات تحليل المعادلة التربيعية حسب الصيغة أس2 + بس + ج = 0 بطريقة إكمال المربع هي:[٣]

  1. قسمة طرفي المعادلة على (أ) لنحصل على المعادلة: س2 + (ب/أ)س + (ج/أ) = 0.
  2. طرح (ج/أ) من طرفي المعادلة لتصبح المعادلة : س2 + (ب/أ)س = - (ج/أ).
  3. إضافة (ب/2أ)2 لطرفي المعادلة لنحصل على: س2 + (ب/أ)س + (ب/2أ)2 = - (ج/أ) + (ب/2أ)2
  4. الطرف الأيمن للمعادلة س2 + (ب/أ)س + (ب/2أ)2 يمثل مربعاً كاملاً، ويمكن كتابته بصورة (س + (ب/2أ))2 ، والطرف الأيسر (-(ج/أ) +(ب/2أ)2) ناتجه يمثل عدد.
  5. أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة الناتجة لنحصل على جذور المعادلة، ثم يمكننا تكوين عواملها.


  • مثال: حلّل المقدار الآتي باستخدام طريقة إكمال المربع: س2 + 4 س + 1 = 0.[٤]
  • قسمة طرفي المعادلة على (أ) وقيمته =1: (1/1) س2 + (4/1) س + (1/1) = (0 /1).
  • طرح (ج/أ) وقيمتها (1/1)=1 من طرفي المعادلة: س2 + 4 س + 1 - 1 = 0 - 1.
  • إضافة (ب/2أ)2 وقيمتها (4 /2×1)2 = 4 لطرفي المعادلة: س2 + 4 س +4 = -1+4.
  • الطرف الأيمن للمعادلة: س2 + 4 س +4يمثل مربعاً كاملاً، ويمكن كتابته بصورة (س+2)2 ، والطرف الأيسر (-1+4) = 3.
  • أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة لنحصل على: (س+2)2√= 3√ = (س+2) = 1.73±
  • نواتج التحليل هي:
  • القوس الأول: (س+2) - 1.73 = 1.73 - 1.73 = (س + 0.27).
  • القوس الثاني: (س+2) +1.73 = -1.73 +1.73 = (س + 3.73).
  • س2 + 4 س + 1 = (س + 0.27)(س+3.73).


التحليل باستخدام الصيغة العامة

نستخدم هذه الطريقة عندما تفشل الطرق السابقة في التحليل، وهي تقوم على استخدام القانون العام للمعادلة التربيعية والذي صيغته:[٥]

  • س = (- ب ± (ب2 - 4أج)√) / 2أ)

عند استخدام هذه الصيغة سنحصل على قيمتين للمتغير (س) إحداهما ناتجة عن تعويض اشارة (+) في المعادلة ونعطيها الرمز س+، والأخرى ناتجة عن تعويض إشارة (-) ونعطيها الرمز س-، ويكون ناتج التحليل بهذه الطريقة يساوي: أ (س - س+) (س - س-).


  • مثال: حلّل المقدار الآتي: 6س2 + 5س - 6:[٥]
  • تحديد قيمة كل من: أ=6 ، ب=5 ، ج=-6.
  • حساب المقدار : ب2 - 4أج = (5)2 - (4×6×-6) = 169
  • تعويض القيم في قانون الصيغة العامة للمعادلة التربيعية:
  • س = (-5 ± 169√) / (2×6)
  • س+ = (-5 + 169√) / (2×6) = (-5+13) / 12 = 8/12 = 2/3.
  • س- = (-5 - 169√) / (2×6) = (-5-13) / 12 = -18/12 = -3/2.
  • ناتج التحليل حسب الصيغة أ (س - س+) (س - س-) هو: 6 (س - (2/3)) (س- (-3/ 2)).



المراجع

  1. ↑ "factorization-of-quadratic-equations", cuemath, 16-8-2021, Retrieved 16-8-2021. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر "quadratics multiplying factoring", khanacademy, 17-8-2021, Retrieved 17-8-2021. Edited.
  3. ↑ "factorization of quadratic equations", cuemath, 17-8-2021, Retrieved 17-8-2021. Edited.
  4. ↑ "completing square", mathsisfun.com, 17-8-2021, Retrieved 17-8-2021. Edited.
  5. ^ أ ب "factoring quadratics", mathsisfun, 18-8-2021, Retrieved 18-8-2021. Edited.