ما هو البرهان الرياضي؟

ما هو البرهان الرياضي؟

يمكن تعريف البرهان الرياضي (بالإنجليزية: A mathematical proof) في علم الرياضيات بأنه دليل رياضي قاطع ومنطقي يثبت صحة عبارة أو اقتراح أو قانون معين في الرياضيات، وهذا يعني أنه عبارة عن طريقة لإثبات صحة عبارة رياضية معينة، بناءً على مجموعة من البديهيات والنظريات والتعاريف المثبتة علميًا ورياضيًا والمتفق عليها مسبقًا، علمًا بأن الغرض الأساسي من البرهان الرياضي هو توفير مستوى عالٍ من اليقين بصحة المعادلة أو العبارة، وإقناع الآخرين بصحة الادعاء الرياضي.^[١][٢]

ما هي خصائص البرهان الرياضي؟

فيما يأتي ذكر لأهم الخصائص الرئيسية للبرهان الرياضي:^[١][٢]

• الاستنتاج المنطقي: يعتمد البرهان الرياضي على سلسلة من الاستنتاجات المنطقية، بدءًا من الحقائق المعروفة أو المفترضة، كالبديهيات أو النظريات المثبتة مسبقًا، وهو يتقدم عبر سلسلة من الخطوات المتلاحقة، حتى يتم الوصول إلى العبارة المطلوب إثباتها.
• الوضوح والدقة: يكون البرهان الرياضي دائمًا واضحًا ودقيقًا، ويجب أن تتم كتابته بطريقة تسهل على علماء الرياضيات الآخرين فهمها، دون إدخالهم في أي غموض.
• الشكلية: يستخدم البرهان الرياضي الرموز الرياضية للتعبير عن المفاهيم والعلاقات بدقة، حيث تساعد هذه الرموز على إزالة الغموض، وتضمن دقة الاستدلال.
• الشمولية: يجب أن يغطي البرهان الرياضي جميع الحالات ذات الصلة، ولا يجب أن يترك أي شك في صحة العبارة أو المعادلة التي يتم إثباتها.
• عدم القابلية للشك: يجب أن يكون البرهان الرياضي مقنعًا بحيث لا يترك مجالًا للشك عند أي شخص.

ما هي أهمية البرهان الرياضي؟

تلعب البراهين الرياضية دورًا مهمًا في علم الرياضيات، وذلك لأنها الوسيلة التي يثبت علماء الرياضيات من خلالها صحة النتائج والمعادلات والنظريات التي توصلوا إليها، ويستكشفون من خلالها مجالات رياضية جديدة، ويعتمدون على معرفتهم الحالية لتطوير هذا المجال، حيث تعتبر العبارة التي تم إثباتها بواسطة البرهان الرياضي الصحيح؛ نظرية، وعملية إثبات النظريات والتأكد من صحتها هي جوهر عملية البحث والاكتشاف الرياضي.^[٢]

ما هي أنواع البرهان الرياضي؟

يوجد عدة أنواع من البراهين الرياضية في علم الرياضيات، ولكل منها منهجها وتقنياتها الخاصة، وغالبًا ما يتم اختيار نوع البرهان الرياضي المستخدم بناءً على طبيعة العبارة الرياضية التي يتم إثباتها والأدوات المتاحة، وفيما يأتي ذكر لبعض الأنواع الشائعة من البراهين الرياضية:^[٣][٤]

• البرهان المباشر: في البرهان المباشر، يتم البدء بالافتراضات أو البديهيات المعطاة وثم التقدم خطوة بخطوة لإثبات أن الاستنتاج أو النظرية صحيحة، علمًا بأنه يجب تبرير كل خطوة وتتبعها بشكل منطقي انطلاقًا من الخطوات السابقة.
• البرهان بالتناقض: يتضمن هذا النوع من البراهين افتراض عكس ما يريد الشخص إثباته، ثم إظهار أن هذا الافتراض يؤدي إلى تناقض معين، وإذا أدى الافتراض إلى تناقض، فهذا يدل على أن الأصل صحيح.
• الاستقراء الرياضي: يستخدم الاستقراء الرياضي غالبًا لإثبات العبارات المتعلقة بالأعداد الطبيعية أو الأعداد الصحيحة، وهناك شكلان رئيسيان منه، الأول يثبت أن العبارة صحيحة بالنسبة لحالة أساسية (عادةً أصغر رقم) ثم تبين أنه إذا كانت صحيحة بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة، فيجب أن تكون صحيحة بالنسبة لعدد صحيح ما، أما الشكل الثاني منه، فيفترض أن العبارة تكون صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة حتى نقطة معينة، ثم يتم إثباتها بالنسبة للعدد الصحيح التالي.
• الإثبات بالاستنفاد: الإثبات بالاستنفاد أو الإثبات بالحالات أو الإثبات بتحليل الحالة؛ يتضمن هذا النوع النظر في جميع الحالات المحتملة بشكل فردي، وإظهار أن العبارة تنطبق على كل حالة منها، ويتم استخدام هذا البرهان عادةً عندما يكون عدد الحالات محدودًا، ويمكن التحكم فيه.

مثال على البرهان الرياضي

المثال الآتي يوضح مفهوم البرهان الرياضي:^[١]

المثال:

أثبت أن مجموع الأعداد الصحيحة الزوجية هو عدد زوجي أيضًا.

البرهان الرياضي:

لنفترض أن لدينا عددين زوجيين صحيحين هما a و b، وبموجب التعريف يمكن التعبير عن الأعداد الزوجية الصحيحة على أنها:

a = 2k

b = 2l

حيث إن k و l هما أعداد صحيحة

الآن، عند النظر في مجموع العددين الصحيحين a و b:

a + b = 2k + 2l

إذًا:

(a + b = 2(k + l

وبما أن (k + l) هو عدد صحيح أيضًا

فإن a + b أو مجموع العديدين الصحيحين الزوجيين هو ضعف عدد آخر

هذا يعني أن a + b هو عدد زوجي.

ملخص

البرهان الرياضي هو دليل رياضي قاطع ومنطقي يثبت صحة عبارة أو اقتراح أو قانون في الرياضيات، وهو يعتمد على مجموعة من البديهيات والنظريات والتعاريف المثبتة علميًا ورياضيًا والمتفق عليها مسبقًا، ويهدف إلى إقناع الآخرين بصحة العبارة الرياضية، ومن أهم خصائص البرهان الرياضي؛ الاستنتاج المنطقي، والوضوح والدقة، والشكلية، والشمولية، وعدم القابلية للشك، وله أنواع عديدة، تشمل كلًا من البرهان المباشر، والبرهان بالتناقض، والاستقراء الرياضي، والإثبات بالاستنفاد، وغيرها العديد، والتي يتم اختيار إحداها وفقًا لطبيعة العبارة أو المشكلة الرياضية المعنية.