نظرة حول معادلة الدائرة
لوصف دائرة أو رسمها على المستوى الإحداثي يجب أن تكون هناك معادلة تمثّل هذه الدائرة، وهذه المعادلة تُسمّى معادلة الدائرة، التي يمكن تعريفها بأنّها معادلة تمثل جميع نقاط الدائرة الواقعة على محيطها، وتُحدّد المعادلة من خلال معرفة إحداثيات مركز الدائرة وطول نصف قطرها، وكما هو معروف، فإنّ مركز الدائرة يبعد عن جميع النقاط الواقعة على محيطها مسافة متساوية يُطلق عليها اسم نصف قطر الدائرة، وهناك عدة صور لمعادلة الدائرة مثل معادلة الدائرة البارامترية والقطبية، أما أشهرها فهي المعادلة القياسية، وفيما يلي بيان لكل منها.[١]
معادلة الدائرة القياسية
إذا كانت إحداثيات مركز الدائرة هي (أ ، ب) ونصف قطرها هو (ر) فمعادلتها القياسية هي:
- (س - أ)2 +(ص - ب)2 = ر2
إذا كان مركز الدائرة تقع في نقطة الأصل (0 ، 0) في المستوى الديكارتي، ونصف قطرها هو نق، تك فإنّ معادلة الدائرة بتكون على الصورة الآتية:[٢]
- س2 + ص2 = ر2
حدد إحداثيات مركز الدائرة، ونصف قطرها، إذا كانت معادلتها: (س - 3)2+(ص + 9)2 = 9.[٣]
- معادلة الدائرة هنا هي قياسية على الصورة الآتية: (س - أ)2 +(ص - ب)2 = ر2.
- نضع (ص+9) على الصورة العامة (ص - ب)، و (9) على شكل ر2، لتصبح المعادلة على شكل:
- (س - 3)2 +(ص - (-9))2 = (3)2
- مركز الدائرة هو: (3 ، -9) ونصف قطرها هو 3 وحدات.
- أما رسمها على المستوى الإحداثي فهو كالآتي:
-
معادلة الدائرة العامة
تأتي صيغة معادلة الدائرة العامة على هذه الصورة:
س2 + ص2 + أ س + ب ص + ج = 0؛ حيث:
أ، ب، ج ثوابت، ويصعب من خلال هذه المعادلة تحديد مركز الدائرة ونصف قطرها؛ لذا يجب إعادة كتابتها على الصورة القياسية كما يلي:[٤]
نعيد ترتيب المعادلة السابقة على الشكل:
- (س2+أ س) + (ص2+ب ص) = -ج.
- نستخدم طريق إكمال المربع لـ ( س2 +أ س) لتصبح (س + أ/2)2 - أ2 /4 وكذلك لـ (ص2+ب ص) لتصبح (ص+ب/2 )2 - ب2 /4:
- (س + أ/2)2 - أ2 /4 + (ص+ب/2)2 - ب2\4 = - ج.
- (س + أ/2)2+ (ص + ب/2)2 = أ2 /4 + ب2 /4 - ج.
- وبمقارنتها مع المعادلة القياسية (س - أ)2 + (ص - ب)2 = ر2 فإنّ:
- مركز الدائرة هو: (- أ/2 ، - ب/2).
- نصف القطر (ر) هو: (أ2 /4 + ب2 /4 - ج)√.
ما هو نصف قطر وإحداثيات مركز الدائرة التي معادلتها هي: س2 +6 س + ص2 - 4 ص + 8 = 0.[٤]
المعادلة هي عامة يجب إعادة صياغتها كالآتي:
- (س2+6 س) + (ص2 - 4 ص) = - 8.
- نستخدم إكمال المربع: (س+ 3)2- (3)2 + (س- 2)2- (2)2= - 8
- لتصبح المعادلة بهذا الشكل: (س+ 3)2+ (س- 2)2= 5، وبمقارنتها مع المعادلة القياسية (س - أ)2 +(ص - ب)2 = ر2 فإنّ:
- مركز الدائرة هو (-3 ، 2)، ونصف قطرها يساوي (5)√.
معادلة الدائرة البارامترية
الصيغة العامة للمعادلة البارامترية للدائرة هي:[١]
- س2 + ص2 + 2.أ.س + 2.ب.ص + ج = 0؛ حيث:[١]
- س = - أ + ر جتاθ
- ص = - ب + ر جاθ
- س ، ص هي النقاط التي تقع على حدود الدائرة.
- ر هو نصف القطر الذي يربط بين النقاط (س ، ص) الواقعة على محيط الدائرة، ومركز الدائرة (-أ ، -ب)، ويصنع زاوية مقدارها θ.
معادلة الدائرة القطبية
تكون المعادلة القطبية للدائرة على شكل: ر = نصف قطر الدائرة، ودائماً يكون مركز الدائرة فيها هو نقطة الأصل، والنقاط الواقعة على حدودها هي: (ر جتاθ ، ر جاθ ) حيث: س = ر جتاθ ، ص = ر جاθ، ولتكن المسافة الواصلة بين هذه النقاط ونقطة الأصل هي: ف، وبتعويض القيم في المعادلة القياسية للدائرة الواقع مركزها في نقطة الأصل ينتج أنّ:[٥]
- ف2 = (ر جتاθ)2 + (ر جاθ)2
- ف2 = ر2 (جتاθ)2 + ر2 (جاθ)2 وباستخراج ر2 كعامل مشترك ينتج أنّ:
- ف2 = ر2×((جتاθ)2 + (جاθ)2) = ر2 × ( 1)، ومنه:
- ف2 = ر2 ، ومنه فإنّ:
- ف = ر، حيث ر = نصف قطر الدائرة.
جد معادلة الدائرة القطبية إذا كانت معادلة الدائرة في الصورة القياسية هي: س2 + ص2 = 9.[٥]
- س2 + ص2 = 9 تصبح:
- (ر.جتاθ)2 + 2(ر.جاθ) = 9؛ حيث:
- س = ر جتاθ ، ص = ر جاθ
بأخذ ر2 كعامل مشترك ينتج أنّ:
ر2 ×((جتاθ)2 + (جاθ)2) = 9، ولأنّ: (جتاθ)2 + 2(جاθ) = 1، فإنّ:
ر2 = 9، ومنه:
- ر = 3
المراجع
- ^ أ ب ت "Equation of Circle", cuemath, Retrieved 7/8/2021.
- ↑ "Lesson Explainer: Equation of a Circle", Nagwa, Retrieved 7/8/2021.
- ↑ "College Algebra Tutorial 29: Circles", West Texas A&M University, Retrieved 8/8/2021.
- ^ أ ب "Lesson Explainer: Equation of a Circle", nagwa, Retrieved 8/8/2021.
- ^ أ ب "Equation of Circle", cuemath, Retrieved 9/8/2021.
