كيف نثبت أن المثلث متساوي الأضلاع؟

كيف أعرف أن المثلث متساوي الأضلاع؟

يُعرف المثلث متساوي الأضلاع (بالإنجليزية: Equilateral Triangle) بأنه المثلث الذي يكون فيه جميع أطوال الأضلاع متساوية الطول، وبما أن من خصائص المثلثات أنّ الزاويا المقابلة للأضلاع المتساوية في الطول فيه هي أيضاً زوايا متساوية في القياس أيضاً، وبالتالي تكون الزوايا في المثلث متساوي الأضلاع متساوية في القياس أيضاً، وقياسها دائماً 60 درجة، وعليه إذا كان قياس جميع زوايا المثلث هو 60 درجة فهو مثلث متساوي الأضلاع بالتأكيد، كما لو كانت جميع أضلاعه متساوية في القياس فهو بالتأكيد مثلث متساوي الأضلاع وزواياه جميعها 60 درجة.^[١]

إثبات أنّ المثلث متساوي الأضلاع هو مثلث متساوي الزوايا

يمكن إثبات أن المثلث متساوي الأضلاع هو أيضاً متساوي الزوايا من خلال استخدام خصائص المثلث، وهي:^[٢]

• الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية في الطول فيه هي أيضاً زوايا متساوية في القياس.
• مجموع زوايا أي مثلث هو دائماً 180.

لنفترض أن المثلث أ ب ج مثلث متساوي الأضلاع حيث إنّ: (أ ب = ب ج = ج أ)

وبما أنّ:

• الضلع أ ب = أ ج، إذاً قياس الزاويا أ ب ج = أ ج ب
• الضلع ب ج = ب أ ، إذاً قياس الزاويا ب أ ج = أ ج ب
• الضلع أ ج = ج ب، إذاً قياس الزاويا ب أ ج = ج ب أ
• ونستنتج من ذلك أن كل من الزاوية أ = الزاوية ب = الزاوية ج.

• بما أن مجموع زوايا المثلث هو 180، فإنّ:
• أ + ب + ج = 180، حيث أ = ب = ج
• 3× أ = 180
• أ = 180/3 = 60 درجة، ومنه: ب = 60 درجة، ج = 60 درجة.

إثبات أنّ المثلث متساوي الزوايا هو مثلث متساوي الأضلاع

برهن أن المثلث س ص ع المتساوي الزوايا هو مثلث متساوي الأضلاع؟^[٣]

• بما أنّ الزاوية س = الزاوية ص = الزاوية ع، ومن خصائص المثلث أن الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية في الطول هي متساوية في القياس أيضاً، وعليه:
• الزاوية س = الزاوية ص، ومنها:
• طول الضلع س ع = طول الضلع ع ص.
• الزاوية ص = الزاوية ع، ومنها:
• طول الضلع س ع = طول الضلع س ص.
• الزاوية س = الزاوية ع، ومنها:
• طول الضلع ع ص = طول الضلع س ص.
• وبالتالي يكون جميع أطوال الأضلاع متساوية في المثلث متساوي الزوايا.

مثال حول المثلث متساوي الأضلاع