نظرة حول المتتاليات الحسابية
يمكن تعريف المتتالية الحسابية (بالإنجليزية: Arithmetic sequence) بأنها تتابع نمطي ثابت من الأعداد أو القيم ينشأ عند إضافة قيمة معينة ثابتة في كل مرة للقيمة التي تسبقها، ومن الأمثلة على المتتاليات الحسابية ما يلي: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... وفي هذا المثال كانت القيمة المضافة في كل مرة هي العدد 3، وهو ما يطلق عليه اسم الفرق المشترك. [١]
تمارين حول المتتاليات الحسابية
الحل باستخدام خط الأعداد
يمكن حل التمارين المتعلقة بالمتتاليات الحسابية باستخدام خط الأعداد كما يلي:[٢]
ما هو نمط المتالية الآتية: (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...) ؟
كما هو موضّح على خط الاعداد فإن الفرق بين كل عددين متتاليين في هذه المتتالية (الفرق المشترك) هو 3، إذا افترضنا أن العدد الأول هو س والعدد الذي يليه هو ص، فإنّ معادلة المتتالية هذه هي: ص = 3 + س.
ما هو نمط المتتالية (3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...) ؟
كما هو موضّح على خط الأعداد فإن الفرق بين كل عددين متتاليين في هذه المتتالية (الفرق المشترك) هو 5، وإذا افترضنا أن العدد الأول هو س والعدد الذي يليه هو ص، فإنّ معادلة المتتالية هذه هي: ص = 5 + س.
ما هو نمط المتتالية الآتية: (25, 23, 21, 19, 17, 15, ...)؟
كما هو موضّح على خط الاعداد فإن الفرق بين كل عددين متتاليين في هذه المتتالية (الفرق المشترك) هو -2، وإذا افترضنا أن العدد الأول هو س والعدد الذي يليه هو ص، فإنّ معادلة المتتالية هذه هي: ص = س -2.
الحل دون استخدام خط الأعداد
يمكن حل المتتالية الحسابية دون رسم خط الأعداد كما يلي:[٣]
ما هي القيمة المفقودة في هذه المتتالية الحسابية: (3, 10, 17, 24, 31, 38, ؟).
- في هذه المتتالية لقد تم إضافة العدد 7 في كل مرة (الفرق المشترك = 7):
- 3 + 7 = 10.
- 10 + 7 = 17.
- 17 + 7 = 24.
- 24 + 7 = 31.
- 31 + 7 = 38.
- إذاً القيمة التالية هي: 38 + 7 = 45.
ما هي القيمة المفقودة في هذه المتتالية: (63, 55, 47, ? , 31, 23).
- لقد تم طرح العدد 8 في كل مرة (الفرق المشترك = 8):
- 63 − 8 = 55
- 55 − 8 = 47
- 31 − 8 = 23
- وبالتالي يكون العدد المفقود هو: 39؛ حيث إن: 47 − 8 = 39 و 39 − 8 = 31
تمارين للمتتاليات الحسابية متوسطة الصعوبة
من الأمثلة متوسطة الصعوبة حول المتتاليات الحسابية ما يلي: [٤]
كم عدد الخانات المكوّنة للمتتالية الحسابية الآتية: −1, −6/5 , −3/2, ... ,3/10؟
- قيمة الخانة الأولى في هذه المتتالية الحسابية هو -1، والقيمة التالية هي -6/5، أما القيمة الأخيرة فهي 3/10، ونستطيع استنتاج الفرق المشترك من خلال طرح الخانة الأولى من الخانة الثانية التي تليها: (-6/5) - (-1) = 6/1.
- تعويض القيم في القانون الخاص بالمتتاليات الحسابية:
- ص (قيمة الخانة المطلوبة) = س (قيمة الخانة الأولى) + ( ترتيب الخانة المطلوبة في المتتالية (ن) - 1) × الفرق المشترك؛ إذ علينا تعويض قيمة الخانة الأخيرة مكان ص، أما س فهي قيمة الخانة الأولى، ن هو ترتيب الخانة الأخيرة.
- 3/10 = (-1) + ( ن - 1) × 6/1
- (3/10) + 1 = (6/1×ن) -6/1
- (3/13) + (6/1) = 6/1×ن
- (6/26) + (6/1) = 6/1×ن
- ن = 27.
- تحتوي هذه المتتالية على 27 خانة، وهو ترتيب الخانة الأخيرة.
كم عدد خانات المتتالية الحسابية الآتية: (7، 13، 19، ....، 205)؟
- قيمة الخانة الأولى في هذه المتتالية الحسابية هو 7، والقيمة التالية هي 13، أما القيمة الأخيرة فهي 205، ويمكننا استنتاج قيمة الفرق المشترك من خلال طرح الخانة الأولى من الخانة الثانية: 13 - 7 = 6، وهي قيمة الفرق المشترك.
- ص = س + ( ترتيب الخانة في المتتالية (ن) - 1) × الفرق المشترك؛ حيث:
- ص هي قيمة الخانة الأخيرة، س هي قيمة الخانة الأولى، وعند حساب ترتيب الخانة الأخيرة يكون هو نفسه عدد خانات هذه المتتالية:
- 205 = 7 + (ن - 1) × 6
- 205 - 7 = 6×ن - 6
- 198 + 6 = 6ن
- 204 = 6ن
- ن = 34
- تحتوي المتتالية على 34 خانة، وهو ذاته ترتيب الخانة الأخيرة.
المراجع
- ↑ "Definition of Arithmetic Sequence", mathsisfun. Edited.
- ↑ "Arithmetic Sequences", mathsisfun. Edited.
- ↑ "Patterns", mathopolis. Edited.
- ↑ "Question", toppr. Edited.
