شرح مشتقة الدوال (الاقترانات) المثليّة
تعتبر جميع الاقترانات المثلثية: جا(س)، جتا(س)، ظا(س)، قا(س)، قتا(س)، ظتا(س) متصلة على مجالها وقابلة للاشتقاق، وفيما يلي طريقة اشتقاق كل اقتران منها باستخدام قواعد الاشتقاق.[١][٢]
- مشتقة جا(س):
- جا´(س) = جتا(س)، ويمكن التعبير عنها بطريقة أخرى على الصورة: دص/دس (جاس) = جتا(س).
- مشتقة جتا(س):
- جتا´(س) = - جا(س)، ويمكن التعبير عنها بطريقة أخرى على الصورة: دص/دس (جتاس) = - جا(س).
- مشتقة ظا(س):
- لإيجاد مشتقة ظا(س) علينا أولاً كتابتها على الصورة الآتية:
- ظا (س) = جا(س)/جتا(س).
- ظا´(س) = (جا(س)/جتا(س))´.
- باستخدام قاعدة مشتقة: اقتران/اقتران، ينتج أنّ:
- ظا´(س) = (جتاس×جتاس) - (-جاس×جاس)/(جتاس).2
- ظا´(س) = جتا2 س + جا2 س/ جتا2 س.
- ظا´(س) = 1/جتا2 (س)؛ لأنّ: جتا2 (س)+ جا2(س) = 1.[٣]
- ظا´(س) = قا2(س).
- مشتقة ظتا(س):
- يمكن إيجاد مشتقة ظتا(س) باستخدام قاعدة مشتقة: اقتران/اقتران، كما يمكن القيام بذلك باستخدام قاعدة السلسلة:
- ظتا(س) = 1/ظا(س).
- ظتا´(س) = (1/ظا(س))´.
- ظتا´(س) = -1× ظا´(س)/ ظا2(س).
- تعويض قيمة ظا´(س) = قا2(س)، ظا2س = جا2(س)/ جتا2(س)، ينتج أنّ:
- ظتا´(س) = -1× قا2 (س)/ (جا2(س)/ جتا2(س).
- اختصار: جتا2 (س) في البسط مع جتا2 (س) في المقام لينتج أنّ:
- ظتا´(س) = -1/ جا2(س) = - قتا2(س).
- مشتقة قا(س):
- كما هو معلوم: قا(س) = 1/ جتا(س)، وباستخدام مشتقة: اقتران/اقتران ينتج أنّ:
- قا´(س) = (1/جتا(س))´
- قا´(س) = -1 ×جتا´(س)/ جتا2(س).
- قا´(س) = جا(س)/جتا2(س).
- قا´(س) = جا(س)/جتا(س)× (1/جتا(س))
- قا´(س) = ظا(س) قا(س).
- مشتقة قتا(س):
- كما هو معلوم: قتا(س) = 1/ جا(س)، وباستخدام مشتقة: اقتران/اقتران ينتج أنّ:
- قتا´(س) = (1/ جا(س))´
- قتا´(س) = -1×(جا´(س)/ جا2(س)
- قتا´(س) = - جتا(س)/ جا2(س).
- قتا´(س) = (- جتا(س)/جا(س))×(1/جا(س))
- قتا´(س) = - ظتا(س) قتا(س).
ويلخّص الجدول الآتي مشتقة الاقترانات المثلثية الأساسية:[١]
الاقتران | مشتقة الاقتران |
جاس | جتاس |
جتاس | -جاس |
ظاس | قا2س |
ظتاس | - قتا2س |
قاس | ظاس قاس |
قتاس | - ظتاس قتاس |
أمثلة على اشتقاق الاقترانات المثلثية
ص = 3 قاس - 10 ظتاس.[٤]
- ص´ = 3 قا(س) ظا(س) - 10(- قتا2(س)).
- ص´ = 3 قا(س) ظا(س) + 10 قتا2(س).
المراجع
- ^ أ ب ت ث "Derivatives of Trigonometric Functions", Math24, Retrieved 31/7/2021.
- ↑ " Derivative of trigonometric functions - Derivatives", studypug, Retrieved 31/7/2021.
- ^ أ ب ت "Summary of trigonometric identities", clarkuniversity, Retrieved 31/7/2021.
- ↑ " Derivatives Of Trig Functions", Paul's Online Notes, Retrieved 31/7/2021.