قاعدة اشتقاق مجموع دالتين

وفقاً لعلم التفاضل يكون مشتق مجموع دالتين مساوياً دائماً لمجموع مشتقاتهما معاً، وهذا ينطبق على الطرح أيضا؛ لو افترضنا أن لدينا الدالتان: ق (س)، ع (س) فإنّ قاعدة اشتقاق مجموعهما هو كالآتي:[١]


  • (ق+ع)َ (س) = قَ (س) + ع َ(س)


إثبات قاعدة اشتقاق مجموع دالتين

من خلال تعريف المشتقة في النهاية يمكننا إثبات قاعدة اشتقاق مجموع دالتين كما يأتي:

  • كما نعلم عندما نطبق تعريف المشتق على الدالة (ق+ ع)(س) فإننا سنحصل على الآتي:[٢]
  • (ق+ ع)َ(س) = نهاΔس←0 [(ق+ع) (س + Δس) - (ق+ ع) (س)] / Δس؛ حيث: (ق+ ع)(س) هي عبارة عن ق(س) + ع(س) ، لتصبح المعادلة:
  • (ق+ ع)َ(س) = نهاΔس←0 [ ق (س + Δس) + ع (س + Δس) - ق(س) - ع(س) ] / Δس
  • نعيد ترتيب داخل النهاية كما يلي:
  • (ق+ ع)َ(س) = نهاΔس←0 [ ق (س + Δس) - ق(س) / Δس ] + نهاΔس←0 [ ع(س + Δس) - ع(س) / Δس ].
  • وبما أن: نها Δس←0 [ ق (س + Δس) - ق(س) / Δس ] = ق(س)َ، نهاΔس←0 [ ع(س + Δس) - ع(س) / Δس] = ع(س)َ ، إذً:
  • (ق+ ع)َ(س) = ق (س)َ + ع (س)َ، وهو المطلوب.


أمثلة على حساب اشتقاق مجموع دالتين


السؤال:

جد مشتقة ق (س) = س6 + س3 + س2 + س + 10 ؟[٣]


الحل:
  • نلاحظ أن ق (س) = س6 + س3 + س2 + س + 10 متعدد الحدود، لذلك علينا لإيجاد مشتقته، انشتقاق كل حد منه على حدة، ثم جمع كل الحدود معاً بناءً على قاعدة اشتقاق مجموع دالتين لتصبح:
  • ق(س)َ = د/دس (س6 + س3 + س2 + س + 10 )= د/دس (س6 ) + د/دس (س3 ) + د/دس (س2 )+ د/دس (س)+ د/دس (10)= 6س5 + 3س2 + 2س + 1.



السؤال:

إذا كان ق (س) = - س2 + ن س + 1، جد قيمة (ن) إذا علمت أنّ: قَ (3) =1؟[٤]

الحل:
  • لإيجاد (ن) علينا أن نشتق ق (س)، ثم حساب قيمة مشتقة الاقتران عند النقطة: س = 3 ، وبما أنّ الأقتران كثير الحدود فعلينا لحساب مشتقته، اشتقاق كل اقتران على حدة ثم جمع المشتقات معاً كما يأتي:
  • قَ (س) = د/دس (- س2 + ن س + 1) = د/دس (- س2 ) + د/دس (ن س) + د/دس (1) = -2س + ن ، وبما أنّ: قَ (3) =1، فإنّ:
  • قَ (3) = - 2×3 + ن
  • 1 = -6 + ن
  • ومنه: ن = 7





السؤال:

إذا كان هـ(س) = -πس0.54 + 6س4 ، فما قيمة د/دس هـ(س) ؟[٥]

الحل:
  • إن هـ(س) = -πس-0.54 + 6س4 كثير حدود، ولهذا علينا استخدام قاعدة الجمع في الاشتقاق لحساب مشتقته، وذلك كما يأتي:
  • د/دس هـ(س) = د/ دس (-πس-0.54 + 6س4) = د/دس (-πس-0.54 ) + د/دس (6س4) = 0.54 πس-1.54 + 24 س3








المراجع

  1. ↑ "Derivative of the Sum of Functions", emath zone, Retrieved 3/10/2021.
  2. ↑ "Derivative of a Sum", MIT OpenCourseWare, Retrieved 3/10/2021.
  3. ↑ "The Basic Differentiation Rules", dummies, Retrieved 3/10/2021.
  4. ↑ "Lesson Explainer: Power Rule of Derivatives", nagwa, Retrieved 3/10/2021.
  5. ↑ "Differentiation Rules: Sums and Differences", ck12, Retrieved 3/10/2021.