تعريف قاعدة اشتقاق حاصل قسمة دالتين

قاعدة اشتقاق قسمة دالتين (بالإنجليزية: Quotient Rule) في التفاضل والتكامل هي طريقة لإيجاد مشتقة أو اشتقاق اقتران معطى على شكل نسبة أو قسمة لاقترانين قابلين للاشتقاق، أي مشتقة الاقتران الظاهر على الصيغة: ق(س)/هـ(س)، بحيث يكون كل من ق(س)، هـ(س) قابلين للاشتقاق، هـ(س) ≠ 0. [١]

وبشكل عام تنص قاعدة اشتقاق حاصل قسمة دالتين على أنه إذا كان الاقترانان: ق(س)، هـ (س) اقترانين قابلين للاشتقاق؛ فإنّ مشتقة ق(س)/هـ(س) هي:[٢]


  • (د/دس) (ق(س)/هـ(س)) = ((هـ(س) × ق(س)`) - (ق(س) × هـ(س)`) / (هـ(س)).2 حيث:
  • ق(س)` هي مشتقة الاقتران ق (س).
  • هـ(س)` هي مشتقة الاقتران هـ (س).


وفي الجدول الآتي قواعد الاشتقاق لمعظم الاقترانات والتي سنستخدمها في حل الأمثلة القادمة:[٣]


الاقتران
صيغة الاقتران
مشتقة الاقتران
الثابت
ق(س) = جـ
ق`(س) = صفر
الخطي
ق(س) = أ س
ق`(س) = أ
التربيعي
ق(س) = أ س
ق`(س) = 2×أ× س
كثير الحدود [٤]
ق(س) = أ س
ق`(س) = ن × أ س^(ن-1)
ق(س) = س√
ق`(س) = (1/2) س^(-1/2)
الاقتران الأسي
ق(س) = هـ
ق`(س) = هـ

ق(س) = أ 
ق`(س) = أ لوهـ (أ)
الاقتران اللوغاريتمي
ق(س) = لو هـ (س)
ق`(س) = 1/س

ق(س) = لوأ (س)
ق`(س) = 1/ (س لوهـ (أ))
ق(س) = جا س
ق`(س) = جتا س

ق(س) = جتا س
ق`(س) = - جا س

ق(س) = ظا س
ق`(س) = قا (س)


أمثلة على قاعدة اشتقاق حاصل قسمة دالتين


السؤال:

جد (د/ دس) للمقدار جا (س)/س2.[٥]

الحل:
  • نلاحظ أن المقدار يمثّل قسمة اقترانين، ولإيجاد مشتقة هذا المقدارعلينا استخدام قاعدة القسمة السابقة.
  • الاقتران الأول: ق(س) = (جا س)، والاقتران الثاني: هـ(س) = ( س2).
  • مشتقة الاقتران الأول ق`(س) = جتا س، مشتقة الاقتران الثاني هـ`(س) = 2 س.
  • بتطبيق قاعدة اشتقاق قسمة اقترانين سنحصل على:
  • (د/دس) (ق(س)/هـ(س)) = (هـ (س) × ق(س)`) - (ق(س) × هـ(س)`) / (هـ(س))2
  • (د/دس) (جا(س)/س2) = ((س2×جتا س) - (جا س×2 س))/(س2)2
  • = (س×(س×جتا س - 2 جا س)) / س4
  • = (س× جتا س - 2 جا س)/ س3





السؤال:

جد (د/ دس) للمقدار: ((س2+1) / (س2-1)).[٢]

الحل:
  • نلاحظ أن المقدار يمثل قسمة اقترانين، ولإيجاد مشتقة هذا المقدار علينا استخدم قاعدة القسمة السابقة، كما يلي:
  • الاقتران الأول: ق(س) = (س2+1)، والاقتران الثاني: هـ(س) = (س2 -1).
  • مشتقة الاقتران الأول: ق`(س) = 2س، مشتقة الاقتران الثاني: هـ`(س) = 2 س.
  • بتطبيق قاعدة اشتقاق قسمة اقترانين سنحصل على:
  • (د/دس) (ق(س)/هـ(س)) = ( هـ(س)×ق(س)`) - (ق(س) × هـ(س)`) / (هـ(س))2
  • (د/دس) ((س2 +1) / (س2 -1)) = ( (س2 -1) × 2 س) - ((س2+1) × 2 س) ) / (س2 -1)2
  • = (2 س3 - 2 س) - (2 س3 + 2 س) / (س2 -1)2
  • = (-4 س) / (س2 -1)2





السؤال:

جد (د/ دس) للمقدار (جتا س/س).[١]

الحل:
  • نلاحظ أن المقدار يمثل قسمة اقترانين ولإيجاد مشتقة هذا المقدار علينا استخدام قاعدة القسمة السابقة.
  • الاقتران الأول: ق(س) = (جتا س)، والاقتران الثاني: هـ (س) = (س).
  • مشتقة الاقتران الأول ق`(س) = - جا (س)، مشتقة الاقتران الثاني هـ`(س) = 1.
  • بتطبيق قاعدة اشتقاق قسمة اقترانين سنحصل على:
  • (د/دس) (ق(س)/هـ(س)) = ( هـ(س) × ق(س)`) - (ق(س) × هـ(س)`) / (هـ(س))2
  • (د/دس) (جتا س / س) = ( (س × - جا س) - (جتا س × 1) ) / (س)2
  • = (- س جا س - جتا س) / س2
  • = - (س جا س + جتا س) / س2





المراجع

  1. ^ أ ب "quotient rule", cuemath, 2-9-2021, Retrieved 2-9-2021. Edited.
  2. ^ أ ب "The product, quotient and chain rules", amsi, 2-9-2021, Retrieved 2-9-2021. Edited.
  3. ↑ "derivatives rules", mathsisfun, 1-9-2021, Retrieved 1-9-2021. Edited.
  4. ↑ "derivatives of polynomials", brilliant, 1-9-2021, Retrieved 1-9-2021. Edited.
  5. ↑ "quotient rule review", khanacademy, 2-9-2021, Retrieved 2-9-2021. Edited.