قاعدة اشتقاق حاصل ضرب دالتين

يمكن الحصول على اشتقاق حاصل ضرب دالتين عبر كتابة الاقتران الأول مضروباً في مشتقة الاقتران الثاني، ثم يضاف إليه الاقتران الثاني مضروباً في مشتقة الاقتران الأول. [١]


فلو افترضنا أن الاقتران الأول هو ق(س)، ومشتقته هي ق`(س)، والاقتران الثاني هو هـ(س)، ومشتقته هي هـ`(س)، فإنه يمكننا كتابة قاعدة اشتقاق حاصل ضرب اقترانين بالرموز كالآتي:[٢]


  •  ( ق(س) . هـ(س) ) = ق(س).هـ`(س) + ق`(س).هـ(س)


ومن خلال الجدول الآتي نبين لكم أشهر قواعد الاشتقاق لمعظم الاقترانات والتي سنستخدمها في حل الأمثلة القادمة:[٣]


الاقتران
صيغة الاقتران
مشتقة الاقتران
الثابت
ق(س) = جـ
ق`(س) = صفر
الخطي
ق(س) = أ س
ق`(س) = أ
التربيعي
ق(س) = أ س
ق`(س) = 2×أ×س
كثير الحدود [٤]
ق(س) = أ س
ق`(س) = ن×أ×س^(ن-1)
ق(س) = س√
ق`(س) = (1/2) س^1/2-
الاقتران الأسي
ق(س) = هـ
ق`(س) = هـ

ق(س) = أ
ق`(س) = أ. لوهـ (أ)
الاقتران اللوغاريتمي
ق(س) = لو هـ (س)
ق`(س) = 1/س

ق(س) = لوأ (س)
ق`(س) = 1/(س.لوهـ (أ))
ق(س) = جا س
ق`(س) = جتا س

ق(س) = جتا س
ق`(س) = - جا س

ق(س) = ظا س
ق`(س) = قاس


أمثلة على قاعدة اشتقاق حاصل ضرب دالتين

  • مثال (1): جد ق`(س) إذا كان ق(س) = 6 س3. 7 س4.[١]
  • الحل:
  • نلاحظ أن الاقتران ق (س) يمثل حاصل ضرب اقترانين ولإيجاد مشتقة هذا الاقتران علينا استخدام قاعدة الضرب السابقة كما يلي:
  • الاقتران الأول: ل (س) = 6 س3، والاقتران الثاني: ع (س) = 7 س4 .
  • مشتقة الاقتران الأول ل`(س) = 18 س2 ، مشتقة الاقتران الثاني ع`(س) = 28 س3.
  • بتطبيق قاعدة اشتقاق حاصل ضرب اقترانين سنحصل على:
  • ق`(س) = ل(س)×ع`(س) + ل`(س)×ع (س)

= 6 س3 × 28 س3 + 18 س2 × 7س4

= 168 س6 + 126 س6

= 294 س6


  • مثال (2): جد ق`(س) إذا كان ق (س) = لوهـ س.جتا س.[٥]
  • الحل:
  • نلاحظ أن الاقتران ق(س) يمثل حاصل ضرب اقترانين ولإيجاد مشتقة هذا الاقتران علينا استخدام قاعدة الضرب السابقة.
  • الاقتران الأول: ل (س) = لوهـ س، والاقتران الثاني: ع(س) = جتا س.
  • مشتقة الاقتران الأول: ل`(س) = 1/ س، مشتقة الاقتران الثاني: ع`(س) = - جا س.
  • بتطبيق قاعدة اشتقاق حاصل ضرب اقترانين سنحصل على:
  • ق`(س) = ل (س) × ع`(س) + ل`(س) × ع (س)
  • = لوهـ س × - جا س + (1/ س) × جتا س
  • = (جتا (س)/ س) - (لوهـ س × جا س)


  • مثال (3): جد ق`(س) إذا كان ق (س) = س.جتا س. [٢]
  • الحل:
  • نلاحظ أن الاقتران ق (س) يمثل حاصل ضرب اقترانين ولإيجاد مشتقة هذا الاقتران علين استخدام قاعدة الضرب السابقة.
  • الاقتران الأول ل (س) = س، والاقتران الثاني ع (س) = (جتا س).
  • مشتقة الاقتران الأول ل`(س) = 1، مشتقة الاقتران الثاني ع`(س) = - جا س.
  • بتطبيق قاعدة اشتقاق حاصل ضرب اقترانين سنحصل على:
  • ق`(س) = ل(س)×ع`(س) + ل`(س)×ع(س)
  • = (س × - جا س) + ( 1 × جتا س)
  • = جتا س - س.جا س




المراجع

  1. ^ أ ب "product rule", onlinemathlearning, 1-9-2021, Retrieved 1-9-2021. Edited.
  2. ^ أ ب "product rule formula", cuemath, 1-9-2021, Retrieved 1-9-2021. Edited.
  3. ↑ "derivatives rules", mathsisfun, 1-9-2021, Retrieved 1-9-2021. Edited.
  4. ↑ "derivatives of polynomials", brilliant, 1-9-2021, Retrieved 1-9-2021. Edited.
  5. ↑ "Product rule review", khanacademy, 1-9-2021, Retrieved 1-9-2021. Edited.