قواعد تكامل الدوال المثلثية
فيما يأتي قواعد تكامل الدوال المثلثية الستة؛ وهي الجيب، وجيب التمام، والظل، والقاطع، وقاطع التمام، وظل التمام، بالإضافة إلى مجموعة أخرى من تكاملات متنوعة للإقترانات المثلثية، مع الإشارة إلى أن عملية تكامل الدوال المثلثية هي عملية عكسية لعملية اشتقاق الدوال المثلثية:[١][٢][٣]
تكامل دالة الجيب
تكامل دالة جيب التمام
تكامل دالة الظل
تكامل دالة القاطع
تكامل دالة قاطع التمام
تكامل دالة ظل التمام
قواعد تكامل أخرى لبعض الدوال المثلثية
توضيح كيفية استخدام قواعد تكامل الدوال المثلثية
فيما يأتي بعض الأمثلة الحسابية على تكامل الدوال المثلثية الستة السابقة:[١]
المثال الأول:
ما هو تكامل الإقتران بالنسبة لـ x:
الحل:
- نستخدم أولاً المتطابقة المثلثية الآتية لتتعبير عن :
- باستخدام الضرب التبادلي:
- بأخذ التكامل لطرفي المعادلة:
- بالإعتماد على خواص التكامل؛ يمكن توزيع التكامل على الجمع، لتصبح المعادلة كالآتي:
نكامل كل حد من هذه الحدود على حدا:
- وبهذا نكون قد أوجدنا التكامل المطلوب لـ .
المثال الثاني:
ما هو تكامل الإقتران بالنسبة لـ x:[١]
الحل:
- نستخدم أولاً المتطابقة المثلثية الآتية:
- ومنها:
- بأخذ التكامل لطرفي المعادلة:
- نخرج النصف ( ) خارج التكامل لأنها ثابت فيصبح الناتج كالآتي:
- بالإعتماد على خواص التكامل؛ يمكن توزيع التكامل على الجمع، لتصبح المعادلة كالآتي:
- وناتج هذا التكامل هو كالآتي:
- وهذا هو ناتج تكامل الإقتران المطلوب في السؤال وهو .
المثال الثالث:
أوجد تكامل الإقتران الآتي .[٢]
الحل:
المثال الرابع:
أوجد تكامل الإقتران الآتي .[٢]
الحل:
أمثلة حسابية على تكامل الدوال المثلثية
المراجع
- ^ أ ب ت "Integration of Trigonometric Function", byjus, Retrieved 17/7/2022. Edited.
- ^ أ ب ت "INTEGRATION OF TRIGONOMETRIC INTEGRALS", math.ucdavis, Retrieved 17/7/2022. Edited.
- ↑ "The Trigonometric Functions", zweigmedia, Retrieved 17/7/2022. Edited.
- ↑ "INTEGRATION OF TRIGONOMETRIC INTEGRALS", math.ucdavis, Retrieved 17/7/2022. Edited.
- ↑ "INTEGRATION OF TRIGONOMETRIC INTEGRALS", math.ucdavis, Retrieved 17/7/2022. Edited.
بعض تكاملات الدوال المثلثية يمكن حلها بسهولة وبشكل مباشر، وبعضها الآخر يحتاج لاستخدام المتطابقات المثلثية المعروفة، ثم استخدام خواص التكامل كتوزيع التكامل على الجمع والطرح، لتبسيط المعادلة وإيجاد ناتج تكامل الاقتران المطلوب.