العمليات على كثيرات الحدود
تشمل العمليات على كثيرات الحدود العمليات الحسابية مثل الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة، وفيما يلي بيان لكل عملية من هذه العمليات.
جمع كثيرات الحدود وطرحها
تُجمع كثيرات الحدود من خلال كتابة الحدود المتشابهة إلى جانب بعضها (مع الاحتفاظ بإشارة كل حد)،[١] ثم جمع الحدود المتشابهة معاَ، أما عملية طرح كثيرات الحدود، فتتم أولاً بتوزيع الإشارة السالبة (إشارة الطرح) على كل حد من حدود كثير الحدود الثاني، ثم كتابة الحدود المتشابهة إلى جانب بعضها (مع الاحتفاظ بإشارة كل حد)، وجمع الحدود المتشابهة معاً.[٢]
ولتوضيح جمع كثيرات الحدود وطرحها إليك الأمثلة الآتية:[١]
جد ناتج جمع (3س + 5) + (2س + 4).[١]
- كتابة الحدود المتشابهة إلى جانب بعضها: 3س + 2 س + 5 + 4.
- جمع الحدود المتشابهة معاً: 5س+9.
جد ناتج جمع (2ص2 + 2 ص - 7) + (7 ص2 - 4 ص + 8).[١]
- كتابة الحدود المتشابهة إلى جانب بعضها: 2ص2 + 7 ص2 + 2 ص - 4 ص - 7 + 8.
- جمع الحدود المتشابهة معاً: 9 ص2 - 2 ص+1
جد ناتج طرح (3 س2 - 2 س + 5) - (-6 س2 + 7 س + 4).[٢]
- نوزع إشارة الطرح على الحد الثاني: -(- 6 س2 + 7 س + 4) ليصبح 6 س2 - 7 س - 4
- كتابة الحدود المتشابهة إلى جانب بعضها: 3 س2+ 6 س2- 2 س-7 س + 5 - 4
- جمع الحدود المتشابهة معاً: 9 س2 - 9 س+ 1
ضرب كثيرات الحدود
يكون ضرب كثيرات الحدود بضرب كل حد من الحدود في كثير الحدود الأول بكل حد من حدود كثير الحدود الثاني، وتكون طريقة ذلك بضرب المعاملات ببعضها وجمع الأسس للمتغير نفسه، وتكرار العملية للحد الثاني في كثير الحدود الأول، وهكذا حتى انتهاء جميع حدود كثير الحدود الأول، ثم جمع أو طرح الحدود المتشابهة إن أمكن لتبسيط الناتج،[٢] ولتوضح عملية ضرب كثيرات الحدود إليك الأمثلة الآتية:
جد ناتج ضرب (س - 5) (س + 3).[٢]
(س - 5) (س + 3) = ( س×س + 3×س - 5×س - 5×3) = ( س2 + 3 س - 5 س - 15) = س2 - 2 س - 15.
- يمكن كذلك حل المثال السابق (س - 5) (س + 3) باستخدام الجدول وترتيب الحدود فيه كما يلي:[٢]
- كتابة حدود كثير الحدود الأول في الصف العلوي، وكتابة حدود كثير الحدود الثاني في العمود الأول.
- القيام بعملية الضرب عن طريق ضرب كل حد من حدود كثير الحدود الأول بكل حد من كثير الحدود التالي، حتى انتهاء جميع حدود كثير الحدود الأول، ثم جمع أو طرح الحدود المتشابهة إن أمكن لتبسيط الناتج كما ذُكر سابقاً.
x | س | -5 |
س | س2
| -5 س |
+3 | +3 س | -15 |
- الناتج: (س2 + 3 س - 5 س - 15) = س2 - 2 س - 15.
حالات خاصة في ضرب كثيرات الحدود
المربعات الكاملة ولها صورتان:[٣][٣]
- (أ+ ب)2 = (أ+ ب)(أ+ ب) = (أ 2 + 2 أ ب + ب2)
- مثال:
- (س + 4)2 = (س2 + 2×س×4 + 4 2) = س2 + 8 س + 16.
- (أ - ب)2 = (أ - ب)(أ - ب) = (أ2 - 2 أ ب + ب2)
- مثال:
- (س -3)2 = (س2 - 2×س×3 + 3 2) = س2 - 6 س + 9.
- الفرق بين مربعين وتكون على الصورة:[٣]
- (أ - ب)(أ + ب) = (أ 2 - ب2)
- مثال: (3س + 4) (3س - 4) = ((3س)2 - 42) = 9 س2 - 16.
قسمة كثيرات الحدود
لقسمة كثير حدود على كثير حدود آخر باستخدام القسمة المطولة عليك اتباع الخطوات الآتية:[٣]
- كتابة كل من المقسوم والمقسوم عليه تنازلياً حسب ترتيب الأسس.
- وضع العدد 0 معامل لمتغيرالأس الغير موجود.
- تقسيم أكبر أس على أكبر أس في كثيري الحدود (المقسوم والمقسوم عليه) ووضع الناتج في الأعلى، ثم ضرب الناتج في المقسوم عليه، وطرح ناتج عملية الضرب هذه من المقسوم، ثم قسمة أكبر أس على أكبر أس في كثيري الحدود (ناتج طرح ناتج عملية الضرب من المقسوم، والمقسوم عليه) إلى أن تنتهي عملية القسمة (الباقي صفر)، أو أن يكون أس الباقي أقل من أس المقسوم عليه.
لتوضيح عملية القسمة إليك الأمثلة الآتية:
