شرح المتتاليات الحسابية

سلسبيل الطهراوي

نُشر في 21 نوفمبر 2021 ، آخر تحديث 13 نوفمبر 2022

نظرة عامة حول مفهوم المتتاليات الحسابية

تُعرف المتتاليات الحسابية (بالإنجليزية: Arithmetic progression) بأنها تسلل يكون الفرق فيه بين كل عنصرين متتالين قيمة ثابتة، ويعرف هذا الفرق الموجود بين العنصرين المتاليين بالعامل أو الفرق المشترك.^[١]

خصائص المتتاليات الحسابية

تمتاز المتتاليات الحسابية بالعديد من الخصائص، ومنها:^[٢]

عند إضافة نفس العدد أو طرحه من كل عنصر في المتتالية الحسابية فإنّ العناصر الناتجة ستُكوّن أيضاً متتالية حسابية جديدة.
إذا تم ضرب العناصر المكونة للمتتالية الحسابية أو قسمتها على نفس العدد غير الصفر فإنّ العناصر الناتجة تُكوّن أيضاً متتالية حسابية جديدة.
العناصر أ، ب، ج تكوّن في متتالية حسابية إذا كان ضعف العنصر ب يساوي مجموع العنصرين أ و ج.
عند اختيار عناصر من فترة معينة منتظمة من متتالية حسابية، فإن هذه العناصر ستشكل متتالية حسابية أيضاً.

أمثلة على المتتاليات الحسابية وكيفية تحديد عناصرها

في هذا الجزء من المقال سيتم طرح وتحديد عناصر المتتالية الحسابية كما يلي:^[٣]

6, 13, 20, 27, 34, 41, 48. . . .
91, 81, 71, 61, 51, 41 ,31. . . .

الحد الأول: (بالإنجليزية: first term) الحد الأول هو أول عنصر موجود في المتتالية، وعادة يُرمز له بالرمز(a1 )، أو الرمز (a)، وفي المتتالية الأولى مثلاً العنصر الأول (a1 ) أو (a) هو 6 أما في المتتالية الثانية فهو 91.
العامل أو الفرق المشترك: (بالإنجليزية: Common Difference) تُعرف المتتالية الحسابية بأنها عبارة عن تسلسل من الأعداد يتم فيه الحصول على كل عنصر من خلال إضافة عدد ثابت إلى الحد الذي يسبقه، ولا تنطبق هذه القاعدة على العنصر الأول، ويُطلق على هذا العدد اسم العامل أو الفرق المشترك ويُرمز له بالرمز (d)، وهذا يعني بأنه إذا كان العنصر الأول هو (a1) فإن العنصر الثاني سيساوي a1+d، والعنصر الثالث = a1+ 2d؛ فمثلاً في المتتالية الأولى قيمة الفرق المشترك يساوي 7، أما في المتتالية الثانية فهو -10، ويتم حسابه من خلال طرح العنصر من العنصر الذي يسبقه.
الحد العام (أو الحد النوني) للمتتالية الحسابية: يتم إيجاد الصيغة العامة لحساب أي حد من حدود المتتالية الحسابية من خلال تحديد الحد الأول، والفرق المشترك، ثم استخدام العلاقة الآتية:
الحد (an) = الحد الأول (a1 ) + (n-1) × الفرق المشترك (d)؛ حيث: n = ترتيب الحد في المتتالية؛ فمثلاً يمكن حساب القاعدة العامة للمتتالية الثانية السابقة باتباع الخطوات الآتية:
الحد (an) = الحد الأول (a1) + (n-1) × الفرق المشترك (d)
الحد (an) = 10×(n-1) + 91-
الحد (an) = 10n + 101-

كيفية حساب مجموع المتتالية الحسابية

يتم حساب مجموع المتتالية الحسابية عند معرفة الحد النوني (آخر حد في المتتالية) من خلال العلاقة الآتية:^[٤]

مجموع المتتالية الحسابية (S) = (الحد النوني (an)/2) [2×الحد الأول (a1) + (الحد النوني (an) - 1) × الفرق المشترك (d)]

أمثلة حسابية حول المتتاليات الحسابية

السؤال:

احسب قيمة (n) لمتتالية حسابية إذا كان الحد النوني (an) لها يساوي 95، والحد الأول يساوي 10، وكانت قيمة الفرق المشترك تساوي 5.^[٤]

الحل:

الحد النوني (an) = الحد الأول (a1) + (n-1) × الفرق المشترك (d)

95 = 10 + (n-1) × 5

95 = 10 + 5n - 5

90 = 5n

n = 90/5

n = 18

السؤال:

جد الحد رقم 20 للمتتالية الحسابية الآتية: 3,5,7,9.^[٤]

الحل:

لحساب الحد رقم 20 يجب حساب الفرق المشترك أولاً كما يلي:

الفرق المشترك (d) = الحد - الحد الذي يسبقه
الفرق المشترك (d) = 3-5
الفرق المشترك (d) = 2
الحد النوني (an) = الحد الأول (a1) + (n-1) × الفرق المشترك (d)
الحد رقم 20 (a20) = 3 + 2×(20 - 1)
الحد رقم 20 (a20) = 41

السؤال:

احسب مجموع أول 30 حد لمضاعفات العدد 4.^[٤]

الحل:

لتوضيح المثال يجب تحديد عناصر المسألة، وهي كالآتي:

n = 30، الحد الأول (a1 ) = 4، الفرق المشترك (d)= 4.

مجموع المتتالية الحسابية (S) = (الحد النوني (an)/2) [2×الحد الأول (a1) + (الحد النوني (an) - 1) × الفرق المشترك (d)]

مجموع المتتالية الحسابية (S) = (30/2) [4×2 + (30-1)×4]

مجموع المتتالية الحسابية (S) = 1860.

السؤال:

اكتب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية الحسابية عندما يكون الحد الأول (a1) = 23، وقيمة الاختلاف المشترك (d)= -5.^[٥]

الحل:

المتتالية الحسابية = الحد الأول (a1 )، الحد الأول (a1)+الفرق المشترك (d)، الحد الأول (a1 )+ 2×الفرق المشترك (d)، الحد الأول (a1 ) + 3×الفرق المشترك (d)، الحد الأول (a1 ) + 4×الفرق المشترك (d)

المتتالية الحسابية = 23، 5-23، 23+-5×2، 23+-5×3، 23+-5×4

المتتالية الحسابية = 23، 18، 13، 8، 3.