شرح عن الزاوية الخارجية للمثلث

تعريف الزاوية الخارجية للمثلث

المثلث هو عبارة عن شكل ثلاثي الأضلاع له ثلاث زوايا داخلية مجموعها يساوي دائمًا 180 درجة، أما عن الزوايا الخارجية للمثلث (بالإنجليزية: Exterior Angles) فهي الزاوية المحصورة بين أحد أضلاع المثلث وامتداد ضلع المثلث المجاور له، كما هو موضّح في الشكل أدناه، ويوضّح الشكل أدناه المثلث (س ص ع) الذي يحتوي على ثلاث زوايا داخلية هي: أ، ب، جـ، وثلاث زوايا خارجية هي: د، هـ، و، ويجدر بالذكر هنا أنّ كل زاوية من الزوايا الداخلية والزاوية الخارجية المجاورة لها هي عبارة عن زوايا متكاملة؛ أي أن مجموع قياسهما يساوي 180 درجة.^[١]

نظرية الزاوية الخارجية للمثلث

تنص نظرية الزاوية الخارجية على أنّ: "قياس كل زاوية خارجية في المثلث يساوي مجموع الزوايا الداخلية المقابلة لها والبعيدة عنه وغير المجاورة لها".^[١]

• مثال: في الشكل أعلاه يكون قيمة الزوايا:
• هـ = ب+جـ
• د = أ+جـ
• و = أ+ب

مجموع الزاوية الخارجية والزاوية الداخلية المجاورة لها يساوي 180 درجة، وبتطبيق ذلك على المثلث أعلاه ينتج أنّ:

• ب+د = 180 درجة.
• أ+هــ = 180 درجة.
• جـ+و = 180 درجة.

إثبات نظرية الزاوية الخارجية للمثلث

انظر الشكل أدناه الذي يوضّح المثلث ABC، حيث تم تمديد الضلع BC ورسم خط موازٍ للضلع AB.^[٢]

الإثبات:

• نلاحظ أن ∠1=∠x؛ وذلك بسبب أنهما زوج من الزوايا المتبادلة.
• نلاحظ أنّ ∠2 =∠y؛ وذلك بسبب أنهما زوايا متناظرة في المثلث.
• ينتج لدينا ممّا سبق أنّ:
• ∠1+∠2 = الزاوية X + الزاوية Y
• ∠ACD = الزاوية X + الزاوية Y (من الشكل أعلاه)، وعليه:
• ∠1+∠2 = ∠ACD (وذلك من الجملتين السابقتين).
• يمكن ملاحظة أنّ ∠ACD هي الزاوية الخارجية للمثلث ABC، وهي تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين غير المجاورتين لها.

كيف تجد الزوايا الخارجية للمثلث؟

خصائص الزاوية الخارجية للمثلث

من خصائص الزاوية الخارجية للمثلث ما يلي:^[٣]

• إن قياس أي زاوية خارجية للمثلث يكون أكبر من أي من الزاويتين الداخليتين البعيديتن عنها.
• إجمالي مجموع الزوايا الخارجية للمثلث هو 360 درجة.