قوانين الدائرة المثلثية

تعرف الدائرة المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric Circle) باسم دائرة الوحدة (بالإنجليزية: Unit Circle) أيضًا، وهي دائرة نصف قطرها يساوي واحد (نق =1)؛ ويشار إلى أن دائرة الوحدة تسهل الكثير من الحسابات الرياضية المتعلقة بحساب المثلثات، ويقع مركز هذه الدائرة في نقطة الصفر لنظام الإحداثيات الديكارتي أو المستوى الديكارتي.[١][٢]


لأي نقطة (x،y) تقع على محيط دائرة الوحدة، يُمكن رسم مثلث قائم الزاوية، بحيث يكون وتر المثلث هو نصف قطر دائرة الوحدة، والزاوية 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين الوتر ومحور السينات الموجب ورأسها هو مركز دائرة الوحدة، وباستخدام هذا المثلث المرسوم في دائرة الوحدة أو الدائرة المثلثية، يمكن إيجاد النسب المثلثية، باستخدام القوانين الآتية:[١][٢]


القانون الأول

جا 𝜃 = الضلع المقابل / الوتر

جا y/ 1 = 𝜃

y = جا 𝜃


القانون الثاني

جتا 𝜃 = الضلع المجاور/ الوتر

جتا x/ 1 = 𝜃

x = جتا 𝜃


القانون الثالث

ظا 𝜃 = الضلع المقابل / الضلع المجاور

ظا (𝜃) = (y /x)




يمكن إيجاد الدوال المثلثية الأخرى مثل القاطع وقاطع التمام باستخدام المتطابقات المثلثية التي تربطها بالجيب وجيب التمام.




ماذا يحدث عندما تكون الزاوية 𝜃 تساوي 0°؟

عندما تكون الزاوية 𝜃 تساوي 0؛ هذا يعني أنها واقعة على محور السينات الموجب، حيث تتقاطع دائرة الوحدة مع النقطة (1،0) ، إذاً:[٣]

  • جا 0 = 0
  • جتا 0 = 1
  • ظا 0 = 0


ماذا يحدث عندما تكون 𝜃 تساوي 90°؟

عندما تكون الزاوية 𝜃 تساوي 90؛ هذا يعني أنها واقعة على محور الصادات الموجب، حيث تتقاطع دائرة الوحدة مع النقطة (0،1) ، إذاً:[٣]

  • جا 90 = 1
  • جتا 90 = 0
  • ظا 90 = قيمة غير محددة (لأنها ناتجة من قسمة 1/0 وأي عدد يُقسم على صفر يعطي قيمة غير محددة).


السؤال:

ماذا يحدث عندما تكون 𝜃 تساوي 180°؟


الحل:

عندما تكون الزاوية 𝜃 تساوي 180؛ هذا يعني أنها واقعة على محور السينات السالب، حيث تتقاطع دائرة الوحدة مع النقطة (0، -1) ، إذاً:

  1. جا 180 = 0
  2. جتا 180 = -1
  3. ظا 180 = 0





السؤال:

ماذا يحدث عندما تكون 𝜃 تساوي 270°؟


الحل:

عندما تكون الزاوية 𝜃 تساوي 180؛ هذا يعني أنها واقعة على محور الصادات، حيث تتقاطع دائرة الوحدة مع النقطة (-0،1) ، إذاً:

  1. جا 270 = -1
  2. جتا 270 = 0
  3. ظا 270 = قيمة غير محددة (لأنها ناتجة من قسمة 1-/0 وأي عدد يُقسم على صفر يعطي قيمة غير محددة).





قيم النسب المثلثية في دائرة الوحدة

تختلف إشارة النسب المثلثية باختلاف موقع الزاوية 𝜃 في دائرة الوحدة أو الدائرة المثلثية كالآتي:[٣]

  • في الربع الأول لدائرة الوحدة: تكون قيم جميع النسب المثلثية موجبة.
  • في الربع الثاني لدائرة الوحدة: تكون قيمة الجيب موجبة، وباقي النسب المثلثية سالبة.
  • في الربع الثالث لدائرة الوحدة: تكون قيمة الظل موجبة، وباقي النسب المثلثية سالبة.
  • في الربع الرابع لدائرة الوحدة: تكون قيمة جيب التمام (الجتا) موجبة، وباقي النسب المثلثية سالبة.


نظرية فيثاغورس والنسب المثلثية في دائرة الوحدة

تنص نظرية فيثاغورس على أنه بالنسبة للمثلث القائم الزاوية، فإن مربع الضلع الطويل (الوتر) يساوي مجموع مربعات الضلعين الآخرين، وذلك كالآتي:[٣]


الوتر2 = الضلع الأول2 + الضلع الثاني2


وفي المثلث القائم الذي رسمناه في دائرة الوحدة، نقول أن:

12 = x2 + 2y

وبما أن :

y = جا 𝜃

x = جتا 𝜃

إذاً:

جا 𝜃2 + جتا 𝜃2 = واحد2

جا 𝜃2 + جتا 𝜃2 = واحد

وهي متطابقة مثلثية يمكن استخدامها في العديد من العمليات الحسابية.

المراجع

  1. ^ أ ب "Trig unit circle review", khanacademy, Retrieved 10/8/2022. Edited.
  2. ^ أ ب "Unit circle", khanacademy, Retrieved 10/8/2022. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث "Unit Circle", mathsisfun, Retrieved 10/8/2022. Edited.