شروط تشابه المثلثات

تعريف تشابه المثلثات

يعتبر المثلث أحد الأشكال الهندسية المغلقة التي تتكوّن من ثلاث قطع مستقيمة وثلاث زوايا،^[١] وبشكل عام يمكن أن يقال عن المثلثين إنهما متشابهان، إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة، والأضلاع المتناظرة متناسبة، ويكون عادةً للمثلثات المتشابهة الشكل نفسه، ولكنها في المقابل لا تمتلك نفس الحجم، ويُرمز للتشابه عادةً بالرمز (∽).^[٢]

شروط تشابه المثلثات

هناك ثلاث قواعد لمعرفة المثلثات المتشابهة، وهي: قاعدة AA، وقاعدة SSS، وقاعدة SAS، وهي كما يلي:^[٣]

تساوي الزوايا (A A)

يقال إن المثلثين متشابهان إذا كانت قيمة زاويتين في أحدهما تساويان في قيمتهما قيمة زاويتين في المثلث الآخر؛ (أي تساوي زاويتان متناظرتان في المثلثين)، وكما هو معروف إذا تساوت قيمة زاويتين في مثلثين مختلفين فإن الزاوية الثالثة ستكون أيضاً متساوية فيهما، فمجموع زوايا المثلث هو 180 درجة دائماً، ويجدر بالذكر هنا أنه يمكن أيضاً تسمية AA باسم AAA، لأنه عندما تتساوى زاويتان تتساوى الزاوية الثالثة تلقائياً في المثلثين كما ذُكر سابقاً؛ أي أن حالة التشابه هذه تشمل تساوي المثلثين في زواياهم الثلاث.

• فمثلاً المثلثان في المثال السابق متشابهان، بسبب تساوي زاويتين فيهما، وفي هذه الحالة يكون قياس الزاوية الثالثة هو: 180 درجة - (72+35) = 73 درجة.

تناسب الأضلاع المتناظرة (SSS)

يقال إن المثلثين متشابهان إذا كانت جميع الأضلاع المتناظرة في المثلثين متناسبة؛ أي النسبة بين أطوالها متساوية، كما في الشكل الآتي:

• في هذا المثال النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلثين هي:
• د ه : أ ب = 6 : 7.5 = 4 : 5
• و ه : ب ج = 8 : 10 = 4 : 5
• و د: أ ج = 4 : 5
• في هذه الحالة يتشابه المثلثان (و ه د ∽ أ ب ج) بسبب تناسب أطوال أضلاع المتناظرة فيهما، أي تساوي النسب بين كل ضلعين متناظرين فيهما.

تناسب ضلعان متناظران وتساوي زاوية محصورة بينهما (SAS)

في هذه الحالة يتشابه المثلثان إذا تناسب زوجان من الأضلاع فيهما في الطول، وتساوت قيمة الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين في المثلثين أيضاً، كما في الشكل الآتي:

• في المثلثين السابقين النسب بين طول ضلعين من أضلاعهما هي:
• أ ب : ه د = 14 : 21 = 2 : 3
• ب ج : د و = 10 : 15= 2 : 3
• كما أن الزاوية و د ه مطابقة للزاوية أ ب ج وتساوي 75 درجة.
• إذاً المثلثان (أ ب ج ∽ و ه د) متشابهان بسبب تناسب ضلعين متناظرين فيهما، وتساوي الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين.

تشارك بعض الأجزاء بين المثلثات المتشابهة

يمكن أن يكون المثلثان متشابهين مع وجود بعض العناصر المشتركة بينهما كما في الشكل أدناه، حيث يمكن ملاحظة أنّ المثلث الأكبر (أ ب ج) يشبه المثلث الأصغر (د ب و)، فالنقطتان د، و هي نقاط تنصّف الضلعين أ ب ، ج ب على التوالي، والقطعة المستقيمة و د توازي القطعة المستقية ج أ لتنتج لدينا أنّ الزاوية (ب د و) تطابق الزاوية (ب أ ج)، والزاوية (ب و د) تطابق الزاوية (ب ج أ)، وجميعها تشترك في النقطة ب (زاوية الرأس للمثلثين)، وبهذا يمكن اعتبار أن المثلثين متشابهان بثلاث زوايا، A A لأن جميع الزوايا المتقابلة في المثلثين متساوية.^[٤]