ما هو مدى الدالة؟
يُعرف مدى الدالة (بالإنجليزية: Range of a function) بأنها مجموعة قيم المخرجات أو قيم الإخراج التي يمكن الحصول عليها عند تعويض قيم المجال أو قيم الإدخال في الدالة المحددة.[١]
على سبيل المثال، في الدالة f (x) = x2 التي مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقة جميعها، يكون مداها هو مجموعة الأعداد الحقيقة الموجبة فقط، لأن قيمة سيتم إدخالها إلى هذه الدالة ستخرج موجبة نتيجة تربيعها، فمثلًا، إذا أدخلنا القيمة الموجبة +2، أي f (2) = (2)2 سيكون الناتج هو 4 وهي قيمة موجبة، وإذا أدخلنا القيمة السالبة -2 أي f (-2) = (-2)2 سيكون الناتج هو 4 وهي قيمة موجبة أيضًا، وهكذا بالنسبة لجميع القيم التي يتم إدخالها.[١]
ما الفرق بين مجال الدالة ومدى الدالة؟
مجال الدالة هو مجموعة قيم الإدخال أو قيم المدخلات التي يمكن أخذها للمتغير المستقل في الدالة المحددة، على سبيل المثال، في دالة أكبر عدد صحيح f(x)=[x] يمثل المجال قيم x التي يمكن إدخالها في الاقتران، وهي مجموعة الأعداد الحقيقية (R)، أما مدى الدالة فهو مجموعة قيم الإخراج التي تم إنشاؤها للمجال أو لقيم الإدخال، بمعنى أن القيم الناتجة من الاقتران أو الدالة هي المدى، وفي حالة دالة أكبر عدد صحيح، فإن المدى هو دائمًا مجموعة الأعداد الصحيحة (Z).[٢][٣]
كيف يمكن معرفة مدى الدالة؟
في العبارة الجبرية للدالة تكون قيم x هي قيم مجال الدالة، أما قيم y، فهي تكون قيم مدى الدالة، ويمكن إيجاد مدى الدالة جبريًا من خلال اتباع الخطوات الآتية:[٤]
- مساواة العبارة الجبرية بالصفر، من خلال نقل جميع القيم والمتغيرات إلى أحد طرفي المعادلة، بينما يبقى الطرف الثاني عبارة عن صفر.
- حل العبارة الجبرية، وإيجاد نطاق قيم y.
- تحديد مدى الدالة بالاعتماد على نطاق قيم y التي تم إيجادها في الخطوة السابقة.
مسائل حسابية على تحديد مدى الدالة
الأمثلة الآتية توضح كيفية إيجاد مدى الدوال المختلفة في الرياضيات:[٤]
أوجد مدى الدالة الآتية:
f(x) = 3x2 – 5
أولًا: نكتب الدالة بدلالة y أي:
y = 3x2 – 5
ثانيًا: مساواة العبارة الجبرية بالصفر، من خلال نقل جميع القيم والمتغيرات إلى أحد طرفي المعادلة، كالآتي:
y = 3x2 – 5
y - 3x2 + 5 = 0
ثالثًا: نحدد قيم كل من a وهي معامل x2 و b وهي معامل x و c وهي الحد الثالث المتبقي كالآتي:
a = -3
b = 0
c = y + 5
رابعًا: التعويض في المتباينة b2 -4ac ≥ 0 كالآتي:
b2 - ac ≥ 0
0 - 4 × -3 × (y + 5) ≥ 0
12(y + 5) ≥ 0
12y + 60 ≥ 0
y12 ≥ -60
y ≥ -5
وهذا يعني أن مدى الدالة هو [-5، ∞)
أوجد مدى الدالة الآتية:
f(x) = 1/x
المدى هو جميع الأعداد الحقيقة باستثناء الصفر أو (∞,0)∪(0,∞-)
أوجد مدى الدالة الآتية:
f(x)=x2+1
أولًا: نكتب الدالة بدلالة y أي:
y = x2+1
ثانيًا: مساواة العبارة الجبرية بالصفر، من خلال نقل جميع القيم والمتغيرات إلى أحد طرفي المعادلة، كالآتي:
y = x2+1
y - x2 - 1 = 0
ثالثًا: نحدد قيم كل من a وهي معامل x2 و b وهي معامل x و c وهي الحد الثالث المتبقي كالآتي:
a = -1
b = 0
c = y - 1
رابعًا: التعويض في المتباينة b2 -4ac ≥ 0 كالآتي:
b2 -4ac ≥ 0
-4 × -1 × (y - 1) ≥ 0
4(y - 1) ≥ 0
4y - 4 ≥ 0
4y ≥ 4
y ≥ 1
وهذا يعني أن مدى الدالة هو [1، ∞)
المراجع
- ^ أ ب [https://undergroundmathematics.org/glossary/range-of-a-function "Range of a function"], undergroundmathematics, Retrieved 12/4/2023. Edited.
- ↑ "What is the domain of a function?", khanacademy, Retrieved 12/4/2023. Edited.
- ↑ "What is the range of a function?", khanacademy, Retrieved 12/4/2023. Edited.
- ^ أ ب "Domain Range and Codomain Of A Function", byjus, Retrieved 12/4/2023. Edited.
