تحليل مجموع مكعبين والفرق بينهما

رند الصالح

نُشر في 22 سبتمبر 2022 ، آخر تحديث 08 أكتوبر 2022

نظرة حول صيغة الفرق بين مكعبين

تُستخدم صيغة الفرق بين المكعبين لحساب قيمة الفرق بين المكعبين دون حساب قيمتهما فعلياً، وهي إحدى الصيغ الجبرية لكثيرات الحدود التي تكون على الشكل الآتي: أ3 - ب3، وتستخدم لتحليل ثنائيات الحدود المكونة من حدين مكعبين بينهما إشارة طرح، على الشكل الآتي:^[١]

أ3 - ب3 = (أ - ب)×(أ^2 + أب + ب^2)، حيث:^[١]
أ= قيمة الجذر التكعيبي للحد الأول.
ب= قيمة الجذر التكعيبي للحد الثاني.

يمكن ملاحظة أن إشارة القوس الأول في الصيغة السابقة تكون مماثلة للإشارة بين الحدين المكعبين، أما الإشارة الأولى في القوس الثاني فتكون مخالفة لها.^[٢]

فمثلاً يمكن تحليل الصيغة (27س3 - 125) على الشكل:^[١]
(27س3 - 125) = (3س-5)(9س2+15س+25).

نظرة حول صيغة مجموع المكعبين

أما عن مجموع المكعبين فهي الصيغ الجبرية لكثيرات الحدود التي تتكون من حدين مكعبين بينهما إشارة جمع، او مجموعين لبعضهما البعض على الشكل الآتي: أ3 + ب3، ويمكن تحليل هذه الصيغة على النحو الآتي:^[٣]

أ3 + ب3 = (أ + ب)×(أ^2 - أب + ب^2)، حيث:^[٣]
أ= قيمة الجذر التكعيبي للحد الأول.
ب= قيمة الجذر التكعيبي للحد الثاني.

فمثلاً يمكن تحليل الصيغة (64س3 + 125 ص3) على الشكل:^[٣]
(64س3 + 125ص3) = (4س + 5ص)(16س2 - 20س ص + 25 ص2).

أمثلة على تحليل الفرق بين مكعبين ومجموع المكعبين

السؤال:

حلّل 108³ - 8^3.^[١]

الحل:

باستخدام صيغة تحليل الفرق بين مكعبين:

3^108 - 8^3 = (108- 8)(108^2 +108×8 + 8^2) = (100)(11664 + 864 + 64) = (100)(12592) = 1,259,200.

السؤال:

حلّل 343 ص3 + 27 س3.^[٣]

الحل:

باستخدام صيغة تحليل مجموع المكعبين:

343 ص3 + 27 س3 = (7ص + 3س)(49ص2 - 21 س ص + 9 س2).

السؤال:

حلّل 432 ص4 - 16 ص ع3.^[٣]

الحل:

يمكن تحليل هذه المسألة باستخدام صيغة تحليل الفرق بين مكعبين، ولاستخدامها يجب التفكير أولاً في طريقة لتحويلها إلى فرق بين مكعبين، تتمثل باستخراج 16ص كعامل مشترك بين الحدين كما يلي، ثم استخدام صيغة الفرق بين مكعبين:
432 ص4 - 16 ص ع3 = 16ص (27ص3 - ع3) = 16 ص [(3ص - ع) (9ص2 + 3 ص ع + ع2)].