مفاهيم متعلقة بتربيع الأعداد

يمكن تعريف مربع العدد (بالإنجليزية: Squares) بأنه الناتج الذي يمكننا الحصول عليه عند ضرب أي عدد في نفسه، ويُرمز للتربيع عادة عن طريق وضع العدد 2 فوق العدد المُراد تربيعه؛ فمثلاً مربع العدد 4 يكتب على الصورة الآتية: 42.[١]


أما بالنسبة للقوى أو الأسس (بالإنجليزية: Exponent) فهي تُعرف بأنها الضرب المتكرر للعدد بنفسه أكثر من مرة مساوية لقيمة الأس، وتُكتب الأسس عادة على شكل (bn)، حيث يُشار إلى العدد (b) على أنه الأساس، والعدد (n) هو الأس أو القوة؛ فعلى سبيل المثال: الأس في القيمة الآتية هو العدد 4، أما الأساس فهو القيمة x.[٢]


أما بالنسبة لعملية ضرب الأعداد الصحيحة عند ضربها ببعضها عند حل المسائل المتعلقة بالأسس، فهناك قاعدتان مهمتان يتعلقان بضرب الأعداد السالبة والموجبة، وهي:[٣]

  • عند ضرب عدد سالب في عدد موجب يكون الناتج دائماً سالباً.
  • عند ضرب عددين سالبين ببعضهما أو عددين موجبين ببعضهما يكون الناتج دائماً موجباً، كما في الأمثلة الآتية:
  • 3×(−4) = −12، (−3)×(−4) = 12، 3×4 = 12.


كيفية تربيع الأعداد السالبة

مما سبق يتضح أن تربيع العدد هو ناتج ضرب العدد في نفسه لمرة واحدة، وناتج تربيع العدد السالب يعطي نتيجة موجبة دائماً؛ لأن ناتج ضرب عددين سالبين ببعضهما يعطي عدداً موجباً دائماً.[٤]


أمثلة متنوعة حول تربيع الأعداد


السؤال:

جد قيمة كل مما يلي:

الحل:

مربع العدد −5 = 2(−5) = (−5) × (−5) = +25.

مربع العدد +5 = 2(+5) = 5 × 5 = +25.

نلاحظ مما سبق أن نتيجة تربيع العدد تكون دائماً موجبة بغض النظر عن إشارة العدد.[٥]




السؤال:

مربع العدد (−1)2[٥]

الحل:

= (−1) × (−1) = +1.




السؤال:

مربع العدد (−2)2[٦]

الحل:

= (− 2) × (− 2) = +4.




السؤال:

ما هو مربع الأعداد الآتية:[٧] [٨]

  • (−11)2 =
  • (− 10)2 =
  • (−7)2 =
  • (− 12)2 =
  • (− 13)2 =
  • (− 8)2 =
  • (− 15)2 =
  • (− 6)2 =
الحل:
  • (−11)2 = (−11)×(−11) = 121.
  • (− 10)2 = (− 10)×(− 10) = 100.
  • (−7)2 = (−7)×(−7) = 49.
  • (−12)2 = (−12)×(−12) = 144.
  • (−13)2 = (−13)×(−13) = 169.
  • (− 8)2 = (− 8)×(− 8) = 64.
  • (− 15)2 = (− 15)×(− 15) = 225.
  • (− 6)2 = (− 6)×(− 6) = 36.



ملاحظات عند التعامل مع الأسس المختلفة

عند التعامل مع الأسس هناك بعض الأمور التي يجب الانتباه إليها وهي كما يلي:[٦]


إذا كان الأس سالباّ والأساس بالكامل مع الإشارة السالبة بين قوسين، والأس فوق القوس فإن النتيجة تكون موجبة إذا كان الأس زوجياً كالتربيع، وسالبة إذا كان الأس فردياً؛ فمثلاً جواب المسألة: (-4)2 = (−4)×(−4) = +16، أما اذا طلب منك حساب قيمة: -42 بدون أقواس فإنّ الجواب سيكون:-42 = -1×(4×4) = - 16.


يعود سبب اختلاف الناتج في المسألتين السابقتين إلى اختلاف ترتيب العمليات الحسابية فيهما؛ فوفق قوانين ترتيب العمليات الحسابية يجب دائماً حل ما بداخل الأقواس قبل القيام بعملية الضرب أو حساب قيمة الأسس، كما يجب حساب قيمة الأسس قبل القيام بعملية الضرب، لذلك فإنّ: -42 ≠ (-4).2



السؤال:

ما قيمة ناتج العملية الحسابية في كل حالة من الحالات الآتية:[٩]

الحل:

وفق ما سبق فإنّ:

-5² = -( 5×5 ) = -25.

-(5)² = -( 5×5 ) = -1× 25 = 25-.

(-5)² = ( -5×-5 ) = 25.



بعض خصائص القوى (الأسس)

هناك بعض الخصائص المتعلقة بالاسس ما يلي:[١٠]

الخاصية الأولى: عندما يكون الأساس سالباً ومرفوعاً لأس، فإن النتيجة تكون موجبة دائماً (+) إذا كان الأس زوجياً، وسالبة دائماً (-) إذا كان الأس فردياً.[٦]

الخاصية الثانية: عند رفع العدد صفرلأي قوة يكون الناتج العدد 0.

الخاصية الثالثة: عند رفع العدد 1 لأي قوة يكون الناتج العدد 1.

الخاصية الرابعة: عند رفع العدد لقوة صفرية؛ أي عندما يكون الأس يساوي صفر، فإنّ الناتج دائماً هو العدد1.

الخاصية الخامسة: عند رفع أي عدد للأس واحد فإنّ الناتج هو العدد نفسه.



السؤال:

جد قيمة كل مما يأتي:[١٠]

  • (-5)3 
  • (-10)4 
  • (-29)7
  • -148
  • 05 
  • 15 =1
  • 70 =1
  • 71 =7
الحل:
  • (-5)3 = (−5)×(−5)×(−5) = -125.
  • (-10)4 = (−10)×(−10)×(−10)×(−10) = 10,000.
  • (-29)7 بما أن الأس هو عدد فردي فإن نتيجة هذه المسألة ستكون سالبة.[٦]
  • -148 بما أن الأساس عدد سالب ليس داخل قوس فإن النتيجة لهذه المسألة ستكون سالبة.[٦]
  • 05 =0 (حسب الخاصية الثانية).
  • 15 =1 (حسب الخاصية الثالثة).
  • 70 =1 (حسب الخاصية الرابعة).
  • 71 =7 (حسب الخاصية الخامسة).


المراجع

  1. ↑ "Squares and Square Roots", mathsisfun, 30/7/2021, Retrieved 28/7/2021.
  2. ↑ "Adding Exponents – Techniques & Examples", the story of mathe matics , 30/8/2021, Retrieved 28/8/2021.
  3. ↑ "Multiplying and dividing with integers", mathplanet, 30/7/2021, Retrieved 28/7/2021.
  4. ↑ "How to Simplify an Exponential Expression with a Negative Base", .greenemath.
  5. ^ أ ب "Exponents of Negative Numbers", mathsisfun, 30/7/2021, Retrieved 28/7/2021.
  6. ^ أ ب ت ث ج "Exponents with Negative Bases Lesson", greenemath.
  7. ↑ "Common Square Roots", infoplease.
  8. ↑ ، "Modeling Squares and Finding the Square Root of a Number"، https://courses.lumenlearning.com/، اطّلع عليه بتاريخ .
  9. ↑ "Square Calculator x²", calculatorsoup.
  10. ^ أ ب "Evaluating Exponents of Negative Numbers", aaamath.