حل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام
الصيغة العامة لأي معادلة تربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equations) في الرياضيات هي ax2 + bx + c = 0، حيث a و b و c عبارة عن قيم معروفة، ولا يمكن أن تكون a مساوية للصفر أبدًا، وذلك لأنه إذا كانت a مساوية للصفر، فإن الحد ax2 سيكون صفر أيضًا، وعندها لن تكون المعادلة معادلةً تربيعية، وتجدر الإشارة إلى وجود عدة طرق لحل المعادلة التربيعية، ومن أبرزها حلها باستخدام القانون العام، وصيغته الرياضية هي:[١][٢][٣]
x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
حيث إن:
- x: حل المعادلة التربيعية أي القيم التي تحقق المعادلة.
- a: معامل المتغير x2.
- b: معامل المجهول x.
- c: الحد المطلق أو الحد الثابت في المعادلة التربيعية.
كيفية حل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام
لحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام السابق يجب إدخال قيم كل من a و b و c وحل المعادلة لإيجاد قيم x الممكنة؛ أي إيجاد حلول المعادلة التربيعية المطلوبة في السؤال، وتجدر الإشارة إلى أن وجود الإشارة ± في الصيغة الرياضية للقانون العام المستخدم لحل المعادلة التربيعية يعني وجود حلين للمعادلة، حيث يجب أولًا أن نقوم بتعويض قيم كل من a و b و c في الصيغة الرياضية الآتية لإيجاد الحل الأول للمعادلة أو قيمة x الأولى:[١][٢][٣]
x = (-b + √(b2 - 4ac)) / 2a
ثم نعوض قيم كل من a و b و c في الصيغة الرياضية الآتية لإيجاد الحل الثاني للمعادلة أو قيمة x الثانية:
x = (-b - √(b2 - 4ac)) / 2a
وبهذا نكون قد أوجدنا حلول المعادلة الربيعية باستخدام القانون العام.
قانون المميز للمعادلة التربيعية
يمكن استخدام المميز ورمزه (Δ) لمعرفة عدد حلول المعادلة التربيعية، وإذا كانت حلولها عبارة عن أعداد حقيقية أم أعداد مركبة، والذي يعبر عنه بالصيغة الرياضية الآتية:[١]
Δ = b2 - 4ac
وذلك كالآتي:
- إذا كان المميز موجبًا: يكون للمعادلة التربيعية حلان حقيقيان.
- إذا كان المميز مساويًا للصفر: يكون للمعادلة جل حقيقي واحد؛ أي أن الحلان متطابقان.
- إذا كان المميز سالبًا: يكون للمعادلة التربيعية حلان، لكنهما عبارة عن أعداد مركبة؛ على الصيغة a + bi.
أمثلة على حل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام
الأمثلة الآتية توضح كيفية حل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام:[١]
أوجد حل المعادلة التربيعية الآتية:
5x2 + 6x + 1 = 0
يمكن إيجاد المميز للمعادلة التربيعية كالآتي:
Δ = b2 - 4ac
Δ = 62 - 4×5×1
Δ = 62 - 4×5×1
Δ = 16
بما أن المميز موجب؛ إذا يوجد حلان حقيقيان للمعادلة التربيعية.
نجد حلول المعادلة التربيعية من خلال تحديد قيم كل من a و b و c كالآتي:
a = 5
b = 6
c = 1
نعوض قيم كل من a و b و c في الصيغة الرياضية للقانون العام، لإيجاد حلول المعادلة التربيعية كالآتي:
x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
x = (-6 ± √(62 - 4×5×1)) / 2×5
x = (-6 ± √(36 - 20)) / 10
x = (-6 ± √16) / 10
x = (-6 ± 4) / 10
الحل الأول:
x = (-6 + 4) / 10
x = (-2) / 10
x = - 0.2
الحل الثاني:
x = (-6 - 4) / 10
x = (-10) / 10
x = - 1
حل المعادلة التربيعية الآتية:
5x2 + 2x + 1 = 0
يمكن إيجاد المميز للمعادلة التربيعية كالآتي:
Δ = b2 - 4ac
Δ = 22 - 4×5×1
Δ = 22 - 20
Δ = 4 - 20
Δ = -16
بما أن المميز سالب؛ إذا يوجد حلان غير حقيقيين للمعادلة التربيعية، أي أن حلول المعادلة التربيعية عبارة عن أعداد مركبة وليس حقيقية.
نجد حلول المعادلة التربيعية من خلال تحديد قيم كل من a و b و c كالآتي:
a = 5
b = 2
c = 1
نعوض قيم كل من a و b و c في الصيغة الرياضية للقانون العام، لإيجاد حلول المعادلة التربيعية كالآتي:
x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
x = (-2 ± √(22 - 4×5×1)) / 2×5
x = (-2 ± √(22 - 20)) / 10
x = (-2 ± √(4 - 20)) / 10
x = (-2 ± √-16) / 10
-16√ = 4i
حيث إن i عبارة عن رقم تخيلي وهو يساوي -1√ أي أن (i = -1√)
لذلك تصبح المعادلة كالآتي:
x = (-2 ± 4i) / 10
الحل الأول:
x = (-2 + 4i) / 10
x = −0.2 + 0.4i
الحل الثاني:
x = (-2 - 4i) / 10
x = −0.2 - 0.4i
المراجع
- ^ أ ب ت ث "Quadratic Equations", mathsisfun, Retrieved 20/11/2022. Edited.
- ^ أ ب "Quadratics or Quadratic Equations", byjus, Retrieved 20/11/2022. Edited.
- ^ أ ب "Solving Quadratic Equations", toppr, Retrieved 20/11/2022. Edited.
قبل استخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية يجب كتابتها على الصورة القياسية لها.