شرح مشتقة الدوال (الاقترانات) المثليّة

تعتبر جميع الاقترانات المثلثية: جا(س)، جتا(س)، ظا(س)، قا(س)، قتا(س)، ظتا(س) متصلة على مجالها وقابلة للاشتقاق، وفيما يلي طريقة اشتقاق كل اقتران منها باستخدام قواعد الاشتقاق.[١][٢]

  • مشتقة جا(س):
  • جا´(س) = جتا(س)، ويمكن التعبير عنها بطريقة أخرى على الصورة: دص/دس (جاس) = جتا(س).


  • مشتقة جتا(س):
  • جتا´(س) = - جا(س)، ويمكن التعبير عنها بطريقة أخرى على الصورة: دص/دس (جتاس) = - جا(س).

  • مشتقة ظا(س):
  • لإيجاد مشتقة ظا(س) علينا أولاً كتابتها على الصورة الآتية:
  • ظا (س) = جا(س)/جتا(س).
  • ظا´(س) = (جا(س)/جتا(س))´.
  • باستخدام قاعدة مشتقة: اقتران/اقتران، ينتج أنّ:
  • ظا´(س) = (جتاس×جتاس) - (-جاس×جاس)/(جتاس).2 
  • ظا´(س) = جتا2 س + جا2 س/ جتا2 س.
  • ظا´(س) = 1/جتا2 (س)؛ لأنّ: جتا2 (س)+ جا2(س) = 1.[٣]
  • ظا´(س) = قا2(س).

  • مشتقة ظتا(س):
  • يمكن إيجاد مشتقة ظتا(س) باستخدام قاعدة مشتقة: اقتران/اقتران، كما يمكن القيام بذلك باستخدام قاعدة السلسلة:
  • ظتا(س) = 1/ظا(س).
  • ظتا´(س) = (1/ظا(س))´.
  • ظتا´(س) = -1× ظا´(س)/ ظا2(س).
  • تعويض قيمة ظا´(س) = قا2(س)، ظا2س = جا2(س)/ جتا2(س)، ينتج أنّ:
  • ظتا´(س) = -1× قا2 (س)/ (جا2(س)/ جتا2(س).
  • اختصار: جتا2 (س) في البسط مع جتا2 (س) في المقام لينتج أنّ:
  • ظتا´(س) = -1/ جا2(س) = - قتا2(س).


  • مشتقة قا(س):
  • كما هو معلوم: قا(س) = 1/ جتا(س)، وباستخدام مشتقة: اقتران/اقتران ينتج أنّ:
  • قا´(س) = (1/جتا(س))´
  • قا´(س) = -1 ×جتا´(س)/ جتا2(س).
  • قا´(س) = جا(س)/جتا2(س).
  • قا´(س) = جا(س)/جتا(س)× (1/جتا(س))
  • قا´(س) = ظا(س) قا(س).


  • مشتقة قتا(س):
  • كما هو معلوم: قتا(س) = 1/ جا(س)، وباستخدام مشتقة: اقتران/اقتران ينتج أنّ:
  • قتا´(س) = (1/ جا(س))´
  • قتا´(س) = -1×(جا´(س)/ جا2(س)
  • قتا´(س) = - جتا(س)/ جا2(س).
  • قتا´(س) = (- جتا(س)/جا(س))×(1/جا(س))
  • قتا´(س) = - ظتا(س) قتا(س).


ويلخّص الجدول الآتي مشتقة الاقترانات المثلثية الأساسية:[١]


الاقتران
مشتقة الاقتران
جاس
جتاس
جتاس
-جاس
ظاس
قا2س
ظتاس
- قتا2س
قاس
ظاس قاس
قتاس
- ظتاس قتاس


أمثلة على اشتقاق الاقترانات المثلثية


السؤال:

ص = جتا2س - 2 جاس.[١]


الحل:
  • ص´ = (جتا2س - 2 جاس)´
  • ص´ = (جتا2س)´- (2جاس)´
  • ص´ = - جا(2س)(2س)´ - 2(جاس)´
  • ص´ = -2جا(2س) - 2 جتا(س).
  • ص´ = - 4 جاس جتاس - 2جتا(س)؛ لأن جا(2س) = 2 جا(س) جتا(س). [٣]
  • ص´ = -2 جتاس (2جا(س)+1).
  • وبذلك فإنّ: (جتا2س - 2 جاس)´ = -2 جتاس (2جا(س)+1).




السؤال:

ص = 3 قاس - 10 ظتاس.[٤]


الحل:
  • ص´ = 3 قا(س) ظا(س) - 10(- قتا2(س)).
  • ص´ = 3 قا(س) ظا(س) + 10 قتا2(س).


السؤال:

ص = جاس / (1 + جتاس).[١]


الحل:
  • ص´= ( جاس / (1 + جتاس))´
  • ص´= جتاس (1 + جتاس) - جاس ( - جاس ) / (1 + جتاس)2
  • ص´= [جتاس + جتا2س + جا2س]/(1+جتاس)2
  • ص´= (1 + جتاس) / (1+جتاس)2 ؛ لأن( لأن جتا2س + جا2س = 1[٣]
  • ص´ = 1 / (1 + جتاس).




المراجع

  1. ^ أ ب ت ث "Derivatives of Trigonometric Functions", Math24, Retrieved 31/7/2021.
  2. ↑ " Derivative of trigonometric functions - Derivatives", studypug, Retrieved 31/7/2021.
  3. ^ أ ب ت "Summary of trigonometric identities", clarkuniversity, Retrieved 31/7/2021.
  4. ↑ " Derivatives Of Trig Functions", Paul's Online Notes, Retrieved 31/7/2021.