ما المقصود بالمجال والمدى في الدوال الرياضية؟
يُعرف مجال الدالة (بالإنجليزية: Function Domain) بأنه مجموعة قيم الإدخال التي يمكن أخذها للمتغير المستقل في الدالة المحددة، على سبيل المثال، في دالة أكبر عدد صحيح f(x)=[x] يمثل المجال قيم x التي يمكن إدخالها في الاقتران، وهي مجموعة الأعداد الحقيقية (R)، أما مدى الدالة (بالإنجليزية: Function Range) فيُعرف بأنه مجموعة قيم الإخراج التي تم إنشاؤها للمجال أو لقيم الإدخال، بمعنى أن القيم الناتجة من الاقتران أو الدالة هي المدى، وفي حالة دالة أكبر عدد صحيح، فإن المدى هو دائمًا مجموعة الأعداد الصحيحة (Z).[١][٢]
كيف يمكن إيجاد مجال الدوال الرياضية؟
يتم تحديد مجال الدوال المختلفة من خلال البحث عن جميع قيم المتغير المستقل (الذي يكون عادةً المتغير x)؛ التي يسمح باستخدامها داخل الدالة، بحيث يتم الحصول على نواتج حقيقية، ولذلك يجب التأكد دائمًا من تحقق القاعدتين الآتيتين عند تحديد مجال الدوال:[٣]
- أولًا: يجب أن لا يكون مقام الكسر صفرًا؛ بمعنى أنه يجب استثناء أي قيمة للمتغير المستقل x؛ تجعل المقام مساويًا للصفر من المجال، على سبيل المثال، في الدالة f(x) = 1 / x نقول إن المجال هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء x = 0، حتى لا يكون المقام صفر، وفي الدالة (f(x) = 1/(x -4 نقول إن المجال هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء x = 4، حتى لا يكون المقام صفر أيضًا.
- ثانيًا: يجب أن يكون الرقم الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي موجبًا دائمًا؛ بمعنى أنه يجب استثناء أي قيمة للمتغير المستقل x؛ تجعل القيمة الموجودة أسفل الجذر التربيعي قيمة سالبة من المجال، على سبيل المثال، في الدالة f(x) = √(x+4) يكون المجال هو جميع الأعداد الحقيقية الأكبر، أو تساوي الرقم -4، (أي أن المجال هو -4 ≤ x) وذلك لأن جميع قيم x الأصغر من -4 تجعل القيمة الموجودة أسفل الجذر التربيعي سالبة، مثلًا، لو حاولنا أخذ القيمة -8 وقمنا بإدخالها في الدالة، أي f(x) = √(-8+4) عندها يصبح الناتج f(x) = √(-4) وهذا غير ممكن؛ لأن القيمة أسفل الجذر التربيعي سالبة.
كيف يمكن إيجاد مجال الدوال الرياضية؟
في العبارة الجبرية للدالة تكون قيم المتغير المستقل x هي قيم مجال الدالة كما ذُكر سابقًا، أما قيم المتغير y، فهي تكون قيم مدى الدالة، ويمكن إيجاد مدى الدالة جبريًا من خلال اتباع الخطوات الآتية:[٢]
- مساواة العبارة الجبرية بالصفر، من خلال نقل جميع القيم والمتغيرات إلى أحد طرفي المعادلة، بينما يبقى الطرف الثاني عبارة عن صفر.
- حل العبارة الجبرية، وإيجاد نطاق قيم y.
- تحديد مدى الدالة بالاعتماد على نطاق قيم y التي تم إيجادها في الخطوة السابقة.
أمثلة على كيفية إيجاد مجال ومدى الدوال
أوجد مجال الدالة الآتية:
g(x) = 3 / x
جميع الأعداد الحقيقية عدا x=0
أوجد مدى الدالة الآتية:
f(x) = 1/x
المدى هو جميع الأعداد الحقيقة باستثناء الصفر أو (∞,0)∪(0,∞-)
أوجد مجال الدالة الآتية:
2 + f(x) = x²
جميع الأعداد الحقيقية
المراجع
- ↑ "What is the range of a function?", khanacademy, Retrieved 23/5/2023. Edited.
- ^ أ ب "Domain Range and Codomain Of A Function", byjus, Retrieved 23/5/2023. Edited.
- ↑ "Domain and Range of a Function", intmath, Retrieved 23/5/2023. Edited.
