كيفية حل معادلة بمتغيرين

لا يمكن حل معادلة بمجهولين اثنين أو بمتغيرين اثنين إلا بوجود معادلة أخرى تساعد في إيجاد المتغيرين، حيث يمكن حل معادلة واحدة فقط إذا كانت تحتوي على مجهول واحد، إما إذا احتوت على مجهولين فيجب توفر معادلتين، حيث يتم حل معادلتين بمجهولين باستخدام طريقتين رئيسيتين، هما طريقة الحذف، وطريقة التعويض، وذلك كالآتي:[١][٢][٣]


طريقة التعويض لحل معادلتين بمتغيرين مجهولين

لحل معادلتين بمجهولين باستخدام طريقة التعويض (بالإنجليزية: The Elimination Method) يجب اتباع الخطوات الآتية:

  • أخذ المعادلة الأبسط بين المعاجلتين الموجودتين في السؤال.
  • في المعادلة التي تم أخذها، يجب إعادة ترتيب حدود المعادلة بحيث يتم كتابة المتغير الأول بدلالة المتغير الثاني؛ أي (س = 2 ص +1) على سبيل المثال.
  • تعويض قيمة المتغير الأول التي تم إيجادها في الخطوة السابقة في المعادلة الثانية.
  • تصبح المعادلة الثانية بدلالة المتغير الثاني فقط، وعندها نستطيع حل هذه المعادلة وإيجاد قيمة المتغير الثاني بالتحديد.
  • تعويض قيمة المتغير الثاني في المعادلة الأولى، ثم حلها وإيجاد قيمة المتغير الأول بالتحديد، وهكذا يكون قد تم إيجاد قيمة المتغيرين المجهولين في المعادلتين.


مثال لتوضيح طريقة التعويض


السؤال:

حل المعادلتين الآتيتين:

4 س + 2 ص = 8

5 س + 3 ص = 9



الحل:

أولًا نأخذ المعادلة الأولى وهي: 4 س + 2 ص = 8

نعيد ترتيب حدود المعادلة بحيث نكتب المتغير الأول (س) بدلالة المتغير الثاني (ص)، وذلك كالآتي:

4 س + 2 ص - 2 ص = 8 - 2 ص

4 س + 2 ص - 2 ص = 8 - 2 ص

4 س = 8 - 2 ص

4 س/4 = (8 - 2 ص)/4

4 س/4 = (8 - 2 ص)/4

س = 2 - 1/2 ص

نعوض قيمة المتغير الأول (س) في المعادلة الثانية، فتصبح كالآتي:

5 س + 3 ص = 9

5 (2 - 1/2 ص) + 3 ص = 9

10 - 2.5 ص + 3 ص = 9

10 + 1/2 ص = 9

1/2 ص = 9 - 10

1/2 ص = -1

ص = -2

الآن نعوض قيمة المتغير الثاني (ص) في المعادلة الأولى لإيجاد قيمة المتغير الأول (س) أو في معادلة المتغير س التي كتبت بدلالة المتغير ص، وذلك كالآتي:

4 س + 2 ص = 8

4 س + 2 × -2 = 8

4 س - 4 = 8

4 س = 8 +4

4 س = 12

س = 12/ 4

س = 3

أو

س = 2 - 1/2 ص

س = 2 - 1/2 × -2

س = 2 + 1

س = 3


إذًا المتغيران المجهولان هما س =3، ص = -2.





طريقة الحذف لحل معادلتين بمتغيرين مجهولين

لحل معادلتين بمجهولين باستخدام طريقة الحذف (بالإنجليزية: The Substitution Method) يجب اتباع الخطوات الآتية:

  • ترتيب المعادلتين بحيث يتم وضع المتغير الأول في المعادلة الثانية أسفل المتغير الأول في المعادلة الأولى، والمتغير الثاني في المعادلة الثانية أسفل المتغير الثاني في المعادلة الأولى، وذلك لتسهيل إجراء عملية الحذف.
  • توحيد معامل أحد المتغيرين مع عكس الإشارة، على سبيل المثال، إذا كان معامل المتغير س في المعادلة الأولى هو 2 ومعامله في المعادلة الثانية هو 4، فإننا نضرب المعادلة الأولى كاملةً بـ -2، ليصبح معامل المتغير س في المعادلة الأولى -4 ومعاملة في المعادلة الثانية 4 مثلًا.
  • جمع المعادلتين معًا، وعندها يتم حذف المتغير ذو المعاملات المتساوية مع اختلاف الإشارة، وعندها يتبقى معادلة واحدة بمتغير واحد.
  • إيجاد قيمة المتغير الثاني من المعادلة التي نتجت بعد جمع المعادلتين معًا.
  • تعويض قيمة المتغير الثاني في إحدى المعادلتين الأصليتين لإيجاد قيمة المتغير الأول، وهكذا يكون قد تم إيجاد قيمة المتغيرين المجهولين في المعادلتين.


مثال لتوضيح طريقة الحذف


السؤال:

حل المعادلتين الآتيتين:

2 ص + 3 س = 11

5 س - 2 ص = 13


الحل:

أولًا نرتب المتغيرات المتشابهة أسفل بعضها البعض في المعادلتين وذلك كالآتي:

3 س + 2 ص = 11

5 س - 2 ص = 13

هنا لا داعي لتوحيد معاملات أحد المتغيرين المجهولين، لأن المتغير ص معاملته موحدة مع اختلاف الإشارة، ولذلك يمكننا إجراء عملية الجمع مباشرة، وذلك كالآتي:

3 س + 2 ص = 11

+

5 س - 2 ص = 13

الآن نحذف المتغير 2 ص في المعادلة الأولى مع - 2 ص في المعادلة الثانية، كالآتي:

3 س + 2 ص = 11

+

5 س - 2 ص = 13

نجمع باقي حدود المعادلة فتصبح كالآتي:

3 س + 5 س = 11 + 13

(3 + 5) س = 11 +13

8 س = 24

نقسم طرفي المعادلة على الرقم 8:

8 س/8 = 24/8

8 س/8 = 24/8

س = 3

الآن نعوض قيمة المتغير في إحدى المعادلتين الأصليتين لإيجاد قيمة المتغير الثاني وهو ص، وذلك كالآتي:

2 ص + 3 س = 11

2 ص + 3 × 3 = 11

2 ص + 9 = 11

2 ص = 11- 9

2 ص = 2

2 ص/2 = 2 /2

ص = 1


إذًا المتغيران المجهولان هما س =3، ص = 1.







يمكن التحقق من الحل بتعويض قيم المتغيرين الأول والثاني اللتين تم إيجادهما في المعادلتين، فإن كانت القيم تحقق المعادلتين فإن الحل يكون صحيحًا عندها.




المراجع

  1. ↑ "Solving a System of Equations with Two Unknowns", study, Retrieved 9/10/2022. Edited.
  2. ↑ "How to Solve Systems of Algebraic Equations Containing Two Variables", wikihow, Retrieved 9/10/2022. Edited.
  3. ↑ "how do you solve two equations with two variables?", virtualnerd, Retrieved 9/10/2022. Edited.