قاعدة ضرب المصفوفات
يمكن إجراء العديد من العمليات الحسابية على المصفوفات؛ كجمع المصفوفات وطرح المصفوفات، ومن هذه العمليات أيضًا عملية ضرب المصفوفات؛ حيث يتم ضرب مصفوفتين ببعضهما البعض وإنتاج مصفوفة ثالثة جديدة، وذلك كالآتي:[١][٢][٣]
يمكن تعريف المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix) بأنها مجموعة من الأعداد المرتبة في صفوف وأعمدة داخل قوسين مربعين، حيث يسمى الخط العمودي الموجود في المصفوفة؛ العمود (بالإنجليزية: Column)، أما الخط الأفقي فيسمى؛ الصف (بالإنجليزية: Row)، وتسمى الصفوف والأعمدة؛ أبعاد المصفوفة، وهي تستخدم في التعبير عن حجم المصفوفة؛ حيث إن (حجم المصفوفة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة).
- التأكد من تحقق شرط ضرب المصفوفات: يجب أولًا التأكد من أن عدد أعمدة المصفوفة الأولى المشاركة في عملية الضرب مساوي لعدد صفوف المصفوفة الثانية، لنتأكد من إمكانية ضرب المصفوفتين.
- رسم المصفوفة الناتجة: رسم مصفوفة ثالثة جديدة فارغة، وهي المصفوفة الناتجة، بحيث يكون عدد صفوفها مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الأولى، وعدد أعمدتها مساوي لعدد أعمدة المصفوفة الثانية.
- إجراء الضرب النقطي الأول: ضرب الصف الأول في المصفوفة الأولى ضربًا نقطيًا بالعمود الأول للمصفوفة الثانية، ليعطينا أول عنصر في المصفوفة الناتجة (أ11)، ثم نضرب الصف الأول في المصفوفة الأولى ضربًا نقطيًا بالعمود الثاني للمصفوفة الثانية، ليعطينا ثاني عنصر في المصفوفة الناتجة (أ21)، وهكذا حتى ننهي جميع أعمدة المصفوفة الثانية.
- إجراء الضرب النقطي الثاني: ضرب الصف الثاني في المصفوفة الأولى ضربًا نقطيًا بالعمود الأول للمصفوفة الثانية، ليعطينا العنصر (أ12) في المصفوفة الناتجة، ثم نضرب الصف الثاني في المصفوفة الأولى ضربًا نقطيًا بالعمود الثاني للمصفوفة الثانية، ليعطينا العنصر (أ22) في المصفوفة الناتجة، وهكذا حتى ننهي جميع أعمدة المصفوفة الثانية.
- تكرار عملية الضرب لإيجاد جميع عناصر المصفوفة الناتجة: نكمل ضرب باقي صفوف المصفوفة الأولى بأعمدة المصفوفة الثانية -إن وُجدت- بنفس الطريقة السابقة؛ حتى نجد جميع عناصر المصفوفة الجديدة الناتجة.
أمثلة لتوضيح قاعدة ضرب المصفوفات
مثال للتوضيح: ما ناتج ضرب المصفوفتين الآتيتين؟[١]
خطوات الحل كالآتي:
- التأكد من تحقق شرط ضرب المصفوفات: المصفوفة الأولى تتكون من 3 أعمدة، والمصفوفة الثانية تتكون من 3 صفوف؛ إذاً يمكننا ضرب المصفوفتين ببعضهما.
- رسم المصفوفة الناتجة: نرسم مصفوفة جديدة فارغة تتكون من صفين (مثل المصفوفة الأولى) وعمودين (مثل المصفوفة الثانية).
- إجراء الضرب النقطي الأول: نضرب الصف الأول في المصفوفة الأولى بالعمود الأول للمصفوفة الثانية ضرب نقطي كالآتي؛ 1×7 + 2×9 + 3×11= 58 وهو العنصر أ11 في المصفوفة الناتجة، ثم نضرب الصف الأول في المصفوفة الأولى بالعمود الثاني للمصفوفة الثانية ضرب نقطي كالآتي؛ 1×8 + 2×10 + 3×12= 64 وهو العنصر أ21 في المصفوفة الناتجة.
- إجراء الضرب النقطي الثاني: نضرب الصف الثاني في المصفوفة الأولى ضربًا نقطيًا بالعمود الأول للمصفوفة الثانية كالآتي؛ 4×7 + 5×9 + 6×11= 139 وهو العنصر أ12 في المصفوفة الناتجة، ثم نضرب الصف الثاني في المصفوفة الأولى بالعمود الثاني للمصفوفة الثانية ضرباً نقطيًا كالآتي؛ 4×8 + 5×10 + 6×12= 154 وهو العنصر أ22 في المصفوفة الناتجة، وهكذا نكون قد أوجدنا جميع عناصر المصفوفة الجديدة الناتجة من ضرب المصفوفتين الأولى والثانية.
ما ناتج ضرب المصفوفتين الآتيتين؟
عدد أعمدة المصفوفة الأولى =3 = عدد صفوف المصفوفة الثانية إذًا يمكن إتمام عملية الضرب، كالآتي:
1×4 + 2×5 + 3× 6 = 32
المصفوفة الناتجة تتكون من صف واحد وعمود واحد فقط، كالآتي:
المراجع
- ^ أ ب "How to Multiply Matrices", mathsisfun, Retrieved 11/8/2022. Edited.
- ↑ "Multiplying matrices", khanacademy, Retrieved 11/8/2022. Edited.
- ↑ "Matrix Multiplication", byjus, Retrieved 11/8/2022. Edited.
