قاعدة اقتران أكبر عدد صحيح

يعرف اقتران أكبر عدد صحيح (بالإنجليزية: Greatest Integer Function) أيضًا باسم الدالة الدرجية (بالإنجليزية: Step Function) وذلك لأن هذا الاقتران يمثل بشكل درجي أو سُلمّي على المستوى الديكارتي، واقتران أكبر عدد صحيح هو الاقتران الذي يربط كل عدد حقيقي بأكبر عدد صحيح أقل منه أو يساويه؛ ويعبر عن اقتران أكبر عدد صحيح بالصورة الآتية:[١][٢]


f(x)=[x]

الاقتران f(x) يربط كل عدد حقيقي x بأكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي x.

أمثلة للتوضيح

إذا كان f(x)=[x] فإن:[٢]

  • 1 = f(1)=[1] أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي العدد 1 هو العدد 1 نفسه.
  • -8 = f(-8)=[-8] أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي العدد -8 هو العدد -8 نفسه.
  • 0 = f(0)=[0] أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي العدد 0 هو العدد 0 نفسه.
  • 1 = f(1.7)=[1.7] أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي العدد 1.7 هو العدد 1.
  • -4 = f(-3.5)=[-3.5] أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي العدد -3.5 هو العدد -4.

باختصار: إذا كان العدد x عددًا صحيحًا، فإن قيمة f(x) هي x نفسه؛ وإذا كان x عددًا غير صحيح، فستكون قيمة f(x) هي العدد الصحيح الأصغر من x مباشرةً.




يتم تمثيل أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي العدد x بوضعه داخل قوسين مربعين [x].




مدى ومجال اقتران أكبر عدد صحيح

مجال اقتران أكبر عدد صحيح هو مجموعة الأعداد الحقيقية (بالإنجليزية: Real Numbers) أما مداه فهو مجموعة الأعداد الصحيحة (بالإنجليزية: Integer Numbers)، ويشار إلى أن المجال هو مجموعة القيم المُدخلة إلى الاقتران، أما المدى فهو مجموعة القيم الناتجة من الاقتران بعد تطبيق قاعدة الاقتران على قيم المجال، والجدول الآتي يوضح ذلك:[١][٢]


قيم x (المجال)
ناتج اقتران أكبر عدد صحيح [x] (المدى)
2.2
[2.2]=2
3.99
[3.99]=3
9
[9]=9


الرسم البياني لاقتران أكبر عدد صحيح

لرسم اقتران أكبر عدد صحيح أو الدالة الدرجية بيانًا يجب توضيح الآتي:[١][٣]

  • بالنسبة لجميع الأعداد الموجودة في الفترة [0،1)، فإن قيمة f(x) ستكون 0.
  • بالنسبة لجميع الأعداد في الفترة [1،2)، ستأخذ f(x) القيمة 1 لجميع القيم الموجودة في الفترة.
  • بالنسبة لجميع الأعداد في الفترة [1,0-)، ستأخذ f(x) القيمة −1، وهكذا لجميع الفترات.
  • بالنسبة للعدد الصحيح n الذي يقع في الفترة [n, n+1) ستكون قيمة اقتران أكبر عدد صحيح هو n.


أي أن الاقتران يأخذ قيمة ثابتة بين أي عددين صحيحين، وبمجرد أن يأتي العدد الصحيح التالي، تقفز قيمة الاقتران بمقدار وحدة واحدة (درجة واحدة؛ ولهذا سمي الاقتران بالدالة الدرجية)؛ وهذا يعني أن قيمة f(1) هي 1 (وليس 0)، وبالتالي ستكون هناك نقطة مفتوحة عند (1،0) على الرسم البياني، ونقطة مغلقة عند (1،1) على الرسم البياني، حيث تعني النقطة المفتوحة عدم تضمين القيمة، وتمثل النقطة المغلقة؛ بما في ذلك القيمة التي توجد عليها النقطة، وبالتالي يكون الرسم البياني لاقتران أكبر عدد صحيح كالآتي:[١]


شرح مفصل لقاعدة اقتران أكبر عدد صحيح


أمثلة على قاعدة اقتران أكبر عدد صحيح

فيما يأتي بعض الأمثلة للتوضيح أكثر:[١][٢][٣]


السؤال:

إذا كان f(x)=[x] فما قيمة الاقتران عند x= 22.1؟


الحل:

22 = f(22.1)=[22.1]

أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي العدد 22.1 هو العدد 22.




السؤال:

إذا كان f(x)= [x] فما قيمة f(-100)


الحل:

-100 = f(-100)=[-100]

أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي العدد -100 هو العدد -100 نفسه.




السؤال:

ما قيمة كل من:

  1. [2.7]
  2. [-1.4]
  3. [8]
الحل:
  1. الناتج هو 2
  2. الناتج هو -2
  3. الناتج هو 8


المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج "Greatest Integer Function", cuemath, Retrieved 18/7/2022. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث "Greatest Integer Function", byjus, Retrieved 18/7/2022. Edited.
  3. ^ أ ب "What Is the Greatest Integer Function?", mathwarehouse, Retrieved 18/7/2022. Edited.