حساب محيط المثلث قائم الزاوية

يمكن تعريف محيط الشكل الهندسي بأنه الطول الكلي المحيط بأضلاعه، وعليه فإن محيط المثلث قائم الزاوية (بالإنجليزية: Perimeter) - وهو المثلث الذي يضم زاوية قائمة- هو المجموع الكلي لقياسات جميع أضلاعه، أي:[١]


  • محيط المثلث القائم = طول الضلع الأول (الضلع القائم) + طول الضلع الثاني (القاعدة) + طول الضلع الثالث (الوتر)؛ فمثلاً إذا كانت أضلاع المثلث القائم هي: أ، ب، جـ، فإن محيطه = أ+ب+جـ.[١]


فمثلاً إذا كانت أضلاع المثلث القائم هي: 4، 12، 20 سم، فإن محيطه وفق القانون السابق هو: 4+12+20 = 36 سم.[١]


حساب مساحة المثلث قائم الزاوية

يمكن حساب مساحة المثلث قائم الزاوية باستخدام القانون الآتي:[٢]


  • مساحة المثلث القائم = 1/2×طول القاعدة×الارتفاع.


فمثلاً إذا كانت قاعدة المثلث القائم هي: 0.4م، وارتفاعه هو 0.3م، فإن مساحته وفق القانون السابق هي: 1/2×0.4×0.3 = 0.06 م2.[٢]

استخدام نظرية فيثاغورس لمعرفة الأضلاع المجهولة

يجدر بالذكر هنا أنه وفي حال معرفة طول ضلعين فقط من أضلاع المثلث القائم وعدم معرفة طول الضلع الثالث؛ فإنه يمكنك معرفة طول الضلع الثالث عبر استخدام نظرية فيثاغورس، والتي تنص على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين؛ أي أن: مربع الوتر = مربع الضلع الأول (القاعدة) + مربع الضلع الثاني (القائم، أو الارتفاع)، ثم حساب المحيط، أو حساب المساحة وفق ما هو مطلوب.[١]


فمثلاً إذا كان طول قاعدة المثلث القائم هي: 6سم، وارتفاعه 8سم، وأردت حساب محيطه فإنه يجب عليك أولاً حساب طول الوتر عبر نظرية فيثاغورس كما يلي:[١]

  • مربع طول الوتر = مربع الارتفاع + مربع طول القاعدة = 6×6 + 8×8 = 100، ومنه طول الوتر = 10 سم.
  • تعويض القيم في قانون محيط المثلث لينتج أن: محيط المثلث = 10+6+8 = 24 سم.


أمثلة على حساب مساحة ومحيط المثلث قائم الزاوية



السؤال:

احسب مساحة المثلث القائم إذا كان طول وتره هو 15 سم، وطول قاعدته هو 12سم.[٣]

الحل:
  • يجب لحساب مساحة المثلث أولاً معرفة ارتفاعه، لذلك وفي هذه الحالة يجب الاستعانة بنظرية فيثاغورس لحساب الارتفاع، وذلك كما يلي:
  • مربع طول الوتر = مربع الارتفاع + مربع طول القاعدة، ومنه: 15×15 = 12×12 + مربع الارتفاع، ومنه: مربع الارتفاع = 225-144 = 81 سم، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: الارتفاع = 9 سم.
  • تعويض القيم في قانون مساحة المثلث القائم، وهو:
  • مساحة المثلث القائم = 1/2×طول القاعدة×الارتفاع = 1/2×12×9 = 54 سم2.




السؤال:

إذا كانت مساحة المثلث القائم هي 150م2، ومحيط هذا المثلث هو 60 سم، جد أطوال أضلاع هذا المثلث.[٤]

الحل:
  • نفترض أولاً أن قاعدة المثلث هي س، وأن ارتفاعه هو ص، وأن وتره هو ع، وبتعويض القيم في قانون مساحة المثلث القائم ينتج أن:
  • مساحة المثلث القائم = 1/2×طول القاعدة×الارتفاع، ومنه: 150 = 1/2×س×ص، ومنه:
  • س×ص = 300، وهي المعادلة الأولى.
  • تعويض القيم في قانون محيط المثلث القائم لينتج أن:
  • محيط المثلث القائم = طول الضلع الأول (الضلع القائم) + طول الضلع الثاني (القاعدة) + طول الضلع الثالث (الوتر)، ومنه: 60 = س+ص+ع، وهي المعادلة الثانية.
  • لحل نظام المعادلات هذا والمكوّن من ثلاثة مجاهيل، فإننا نحتاج إلى معادلة ثلاثة، لذلك لا بد من الاستعانة بنظرية فيثاغورس، وعليه:
  • مربع طول الوتر = مربع الارتفاع + مربع طول القاعدة، ومنه: ع2 = س2+ص2، وهي المعادلة الثالثة.
  • بحل المعادلات السابقة ينتج أن: طول الوتر هو 25م، وأن طول القاعدة هو 15م، والارتفاع هو 20م.



المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج "Perimeter of Right Angled Triangle", https://www.cuemath.com/, Retrieved 8-7-2021. Edited.
  2. ^ أ ب "Area and Perimeter of Right Triangles Problems With Solution", www.analyzemath.com, Retrieved 8-7-2021. Edited.
  3. ↑ "Area and Perimeter of the Triangle", www.math-only-math.com, Retrieved 8-7-2021. Edited.
  4. ↑ "Area and Perimeter of Right Triangles Problems With Solution", www.analyzemath.com, Retrieved 8-7-2021. Edited.